Beweis schwaches Gesetz der großen Zahlen

Question

Hallöchen :),

ich bin momentan an einer kniffligen Hausaufgabe und habe mich leider festgefahren :(

Von mir wird verlangt den folgenden Satz aus der Tschebyscheffschen Ungleichung für den Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße zu beweisen:

X sei die Anzahl der Treffer der Bernoullikette der Länge n,

Es gilt für jedes k>0:

lim(n -> "unendlich") P(| X/n-p| < k) = 1

Ich konnte die Tschebyscheffsche Ungleichung für binomialverteilte Zufallsgrößen bereits herleiten:

P(| X/n-p| < k) >= 1/4*n*k²

Es wäre super lieb von euch wenn ihr mir weiterhelfen könntet :3

Liebe Grüße,

Lisa

Answer 1

Hi, die Gleichung die Du schon bewiesen hast muss lauten $$ P \left\{ \Bigg| \frac{X}{n} - p \Bigg| \ge \epsilon  \right\} \le \frac{1}{4 n \epsilon^2}  $$ Da sind die Ungleichungszeichen vertauscht.

Mit obiger Korrektur ergibt sich $$ P \left\{ \Bigg| \frac{X}{n} - p \Bigg| \lt \epsilon  \right\} \ge 1 - \frac{1}{4 n \epsilon^2}  $$ und deshalb
$$ \lim_{n \to \infty} P \left\{ \Bigg| \frac{X}{n} - p \Bigg| \lt \epsilon  \right\} = 1  $$