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Sei Cn={ z Element C: z^n=1}. Sind (Cn •) und (Zn +n) isomorph als Gruppen?

Ich weiß dass ich zeigen muss dass es zwei zyklische Gruppen sind mit gleicher Ordnung. Kann mir jemand weiterhelfen?

Gefragt vor von

Was ist (Zn +n)?

Diese Aufgabe habe ich auch.

mit (Zn, +n) ist (ℤn, +n) gemeint, also das ist der Restklassenring.

Aber ich weiß leider auch nicht wie man das löst und wäre auch dankbar über einen Tipp.

1 Antwort

+1 Punkt

Dass (ℤn, +n) eine  zylische Gruppe der Ordnung n ist, sollte bekannt sein.

Dass (ℂn, •) eine  zylische Gruppe der Ordnung n ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass Multiplikation in den komplexen Zahlen die Argumente addiert:

        r1e1 · r2e2 = r1r2ei(φ12).

Sei z = e2πi/n und M := {zk ∈ ℂn | 1≤k≤n}. Dann ist |M| = n und M⊆ℂn.

Sei nun c = e ∈ ℂn. Wegen 1 = cn = (e)n = eiφn ist nφ = 2πm für ein m∈ℕ. Mit diesem m gilt dann φ = m/n·2π. Also ist φ ein ganzzahliges Vielfaches des n-ten Teils von 2π. Die entsprechenen komplexen Zahlen mit Betrag 1 liegen alle in M. Also ist ℂn ⊆ M.

Wegen M⊆ℂn und ℂn ⊆ M ist ℂn = M.

Beantwortet vor von 28 k

Super vielen Dank für deine Hilfe!!!!

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