Lineare Abbildungen, Komposition

Question

zur Klausurvorbereitung brauche ich diese Aufgabe, welche ich zuvor auf dem Übungsblatt schon nicht richtig machen konnte...

Gegeben seien zwei lineare Abbildungen L1_, L2: Kⁿ -> Kⁿ  sowie deren Komposition L1 ∘ L2: Kⁿ -> Kⁿ

a) Welches Verhältnis (⊆, = , ⊇) besteht zwischen Kern(L1) und Kern(L1 ∘ L2)? Wann gilt gleichheit?

b) Sei nun L1 regulär. Welches Verhältnis (⊆, = , ⊇) besteht zwisschen Bild(L1) und Bild(L1 ∘ L2)? Wann gilt Gleicheit?

Vielen Dank im Voraus

 

Answer 1

Was im Kern von L1 liegt, wird durch L1 auf 0 abgebildet. Diese 0 wird durch anschließende Anwendung von L2 wieder auf die 0 abgebildet. Der Kern von L1 ist also Teilmenge des Kerns von L1_° L2. Es kann sein, dass durch L2 weitere Element auf 0 abgebildet werden. Also ist nicht unbedingt Kern(L1) = Kern(L1_° L2).

Gleichheit tritt dann auf, wenn durch anschließende Anwendung von L2 keine zusätzlichen Elemente auf 0 abgebildet werden, wenn also Kern(L2) ∩ Bild(L1) = {0} ist.