Allgemeine Frage: Kurvenintegral Parametrisierung

Question

Ich verstehe nicht ganz, wie man Kurvenintegrale berechnet.

Einmal habe ich die Version mit dem Skalarprodukt und einmal mit Einsetzen der End und Anfangspunkte in das Potential gesehen und gerechnet.

Wann verwende ich das? Gibt es da bestimmte Kriterien?

Answer 1

  Nicht jedes vektorfeld ist Gradient eines Stammpotenzials; das ist genau dann der Fall, wenn seine ===>  Rotation verschwindet.

Comments

Verstehe ich nicht ganz. Die Punkte nur dann einsetzenwenn es ein Potential gibt?

---

  Nein deine Frage ist etwas verwirrend formuliert. Die Definition des Kurvenintegrals

     $_K    <  v  [  r  (  t  )  ]  |  ( dr/dt >  dt     (  1  )

   Dabei ist v = v ( r )  eine Vektor wertige Funktion

     v  :  ===>  |R  ³  ===>  |R        (   2a  )

     r  ===>  v  (  r  )     (  2b  )

      Integriert wird über Skalarprodukte; da hastr du recht . Die Kurve wird beschrieben  durch ihren Parameter t ; als Abbildung von |R nach |R ³  und besitzt ein  ===>  Tangentenfeld, auch tangentialfeld genannt .

    Mit einem "  Gradienten  "  hat das ganze Spielchen erst mal gar nichts zu tun; dann und nur dann, wenn rot ( v ) identisch verschwindet, folgt aus dem Integralsatz von ===> Stokes, dass das Rundlaufintegral längs jeder geschlossenen Kurve verschwindet  ===>  v  ist Gradient eines Stammpotenzials U U .

   Zwei prominente Gegenbeispiele;

     rot  (  B  )  =  µ0  j     (  3a  )

   eine der inhomogenen ===>  Maxwellgleichungen . Wenn du ein Magnetfeld aufintegrierst, bekommst du stets die Summe der eingeschlossenen Ströme; aber auch das Induktionsgesetz

    rot  (  E  )  + ( dB/dt )  =  0     (  3b  )

   so bald sich das Magnetfeld zeitlich ändert,  also elektrodynamische E_Feldlinien induziert werden, sind diese geschlossen. Ein Elektron, das eine geschlossene Leiterschleife oder den Kreisbeschleuniger eines Betatrons durchflitzt, gewinnt also andauernd Energie aus dem Feld .