Aufgabe:
Sei \( b ∈ ℂ^3 \backslash \{ 0_{3×1} \} \). Für jedes ρ ℝ bezeichne \( P_ρ .= bb^* + ρI_3 \). Die Abbildung \( s_ρ : ℂ³ × ℂ³ → ℂ \) sei gemäß \( s_ρ(v, w) := w^· P_ρv \) definiert. Geben Sie die Menge S aller ρ ∈ ℝ an, für die \( s_ρ \) ein Skalarprodukt in ℂ³ ist.
Folgende Idee hatte ich schon:
P=bb*+p ergibt gerade eine 3x3 Matrix, diese ist hermitesch. Dabei ist die Spur reell und auch p ist reell, dadurch bleibt P hermitesch.
Das heißt die Eigenschaften hermitesch und bilinear sind für das Skalarprodukt schon erfüllt.
Für welche p ist es nun aber positiv definit, die dritte und letzte Eigenschaft damit es ein Skalarprodukt sein kann? Eventuell das alle Eigenwerte positiv sind? Aber über die Eigenwerte weiß ich ja nichts....
