ich habe eine Aufgabe, wo ich mir sicher bin, dass die Beweise kurz und einfach sind, weiß aber nicht, wie ich das mathematisch aufschreiben muss. Bei manchen hänge ich komplett. Könntet Ihr mir bitte helfen? Über einen Ansatz und Hilfestellung würde ich mich freuen:)
Sei K ein Körper, n ∈ ℕ, V=(K^n)^t und sei A ∈ MatK (n,n).
Sei λ ∈ K und wir setzten voraus, dass gilt: chpolA (x) =(x-λ)^n.
Wir setzen ferner voraus, dass dimK Ker(A-λ En) = dimK EA (λ)= n-1 ist, woraus bekanntlich folgt, dass die Matrix A nicht diagonalisierbar ist.
a) Sei B1 ={v1 , … , vn-1 }eine Basis von EA (λ) und sei v∉ EA (λ). Zeigen Sie, dass B = {v,v1 , … , vn-1 } eine Basis von V ist.
Meine Lösung: Die Elemente der Basis B sind linear unabhängig. Der Vektor v lässt sich durch die Elemente darstellen, allerdings werden linear abhängige Vektoren nicht in der Basis mit aufgenommen. Daher kann B = {v, … vn-1 } gelten. Falls meine Überlegungen die richtige Lösung sein sollten, wie notiere ich das jetzt mathematisch korrekt?
b) Stellen Sie (A -λ En )*v mit Hilfe der Basis B dar, und zeigen Sie, dass (A-λ* En )*v ein Eigenvektor von (A -λ En ) ist.
c) Folgern Sie aus b), dass (A - λ En ) *v ∈ EA (λ), und dass (A - λ*En )^2 die Nullmatrix ist.
Muss der zweite Teil nicht aus der Dimension des Eigenraums folgen, da dieser n-1 dimensional ist?
Ich weiß, dass ich nicht viel an eigenen Lösungen einbringen kann. Ich bitte Euch, mir mit Lösungsansätzen den richtigen Weg zu zeigen. Gerne versuche ich dann, diese zu vervollständigen :) Danke
