2.6 Aufgabe 6 Sei Q(x, y) die Aussageform " x+y = x−y ". Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Question

Aufgabe 6 Sei Q(x, y) die Aussageform " x+y = x−y ". Bestimmen Sie den Wahrheitswert
der folgenden Aussagen, wenn der Definitionsbereich der beiden Variablen
die Menge der ganzen Zahlen ist:
(a) Q(1, 1) (b) Q(2, 0)
(c) ∀yQ(1, y) (d) ∃xQ(x, 2)
(e) ∃x ∃yQ(x, y) (f) ∀x ∃yQ(x, y)
(g) ∃x ∀yQ(x, y) (h) ∀y ∃xQ(x, y)
(i) ∀y ∀xQ(x, y)

wie weiss man welchen Wahrheit werden die haben und wie wuerde man h und i in worte fassen?

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Answer 1

a) Q ( 1 , 1 ) ist die Aussage: "1 + 1 = 1 - 1" . Das ist offenbar falsch.

b) Q ( 2 , 0 ) ist die Aussage: "2 + 0 = 2 - 0" . Das ist offenbar wahr.

c) ∀y Q ( 1 , y ) ist die Aussage: "Für alle ganzen Zahlen y gilt: 1 + y = 1 - y" .
Das ist offenbar falsch, wie das Beispiel a) mit y = 1 zeigt.

d) ∃ x Q ( x , 2) ist die Aussage: "Es existiert eine ganze Zahl x sodass gilt: x + 2 = x - 2".
Das ist offenbar falsch, denn x + 2 = x - 2 ist äquivalent zu 0 = 4 , einer offensichtlich falschen Aussage.

e) ∃ x ∃ y Q ( x , y ) ist die Aussage:" Es existieren zwei ganze Zahlen x und y, sodass gilt: x + y = x - y" .
Das ist wahr, wie das Beispiel b) mit x = 2 und y = 0 zeigt.

f)∀ x ∃ y Q ( x , y ) ist die Aussage: "Zu jeder ganzen Zahl x existiert eine ganze Zahl y sodass gilt: x + y = x - y" .
Durch Auflösung der Gleichung nach y erhält man den Wert von y, welcher im Allgemeinen von x abhängt:
x + y = x - y <=> 2 y = 0 <=> y = 0 .
Damit ist gezeigt das die Aussage wahr ist. Zu jeder ganzen Zahl x gibt es eine ganze Zahl y (nämlich y = 0), sodass die Aussage Q ( x , y ) wahr ist. y hängt hier nicht von x ab.
g) ∃ x ∀ y Q ( x , y ) ist die Aussage: "Es existiert eine ganze Zahl x, sodass für alle ganzen
Zahlen y gilt: x + y = x - y". Wenn eine solche Zahl existierte, dann müsste sie sich durch Auflösen dieser Gleichung nach x ergeben. Diese Gleichung aber lässt sich nicht nach x auflösen. Also existiert kein solches x und damit ist die Aussage falsch.

h) ∀ y ∃ x Q ( x , y ) ist die Aussage: "Zu jeder ganzen Zahl y existiert eine ganze Zahl x sodass
gilt: x + y = x - y" . Gegenbeispiel: y = 5 . Für welche ganze Zahl  x gilt: x + 5 = x - 5 ? Es lässt sich keine solche Zahl finden.

i) ∀ y ∀ x Q ( x , y ) ist die Aussage: "Für zwei beliebige ganze Zahlen x und y gilt: x + y = x - y". Das ist offenbar falsch, wie das Beispiel a) mit x = 1 und y = 1 zeigt.