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ich soll für alle n ∈ ℕ beweisen, dass  72n - 2n durch 47 teilbar ist. (mit vollständiger Induktion)

Soweit bin ich schon selbst gekommen.

Induktionsanfang: Für  n = 1  ist  72·1 - 21 = 47 (und das ist ja offensichtlich durch 47 teilbar)

Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gelte für alle  n > 0 .

Induktionsschritt:  Zu zeigen ist, dass die Aussage für  n + 1  gilt.


So und jetzt weiß ich, dass ich für n n+1 einsetzen muss aber ich bekomme es irgendwie nicht so richtig umgeformt.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen und schon mal danke im voraus.

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Hallo Ottilo,

Du hast bereits den richtigen Ansatz gewählt. Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass \(7^{2(n+1)}-2^{n+1}=7^{2n+2}-2^{n+1}\) ohne Rest durch \(47\) teilbar ist. Forme wie folgt um:

\(7^{2n+2}-2^{n+1}\) (Potenzgesetz \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\))

\(7^{2n}\cdot 7^2-2^n\cdot 2\) 

\(7^{2n}\cdot 49-2^n\cdot 2\) (Addiere \(0\) in Form von \(-2\cdot 7^{2n}+2\cdot 7^{2n}\))

\(7^{2n}\cdot 49-2\cdot 7^{2n}+2\cdot 7^{2n}-2^n\cdot 2\) (Klammere 2 aus)

\(7^{2n}\cdot 47+2\cdot (7^{2n}-2^n)\)

\(7^{2n}\cdot 47\) ist wegen des Faktors \(47\) durch \(47\) teilbar und \(7^{2n}-2^n\) ist nach Induktionsvoraussetzung durch \(47\) teilbar.

Ich hoffe, dass Dir das weiterhilft! Melde Dich gerne, wenn etwas unklar sein sollte.

Gruß
André

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Hey wie kommst du denn auf diesen Part? Kann ihn nicht so wirklich nachvollziehen.

\(7^{2n}\cdot 47+2\cdot (7^{2n}-2^n)\)
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fn := 49n - 2n.
Induktionsschritt:
fn+1 = 49n+1 - 2n+1 = 49·49n - 2·2n
        = (47·49n) + 2·(49n - 2n).
Der linke Summand ist offensichtlich durch 47 teilbar. Der rechte Summand ist nach Induktionsvoraussetzung durch 47 teilbar. Also ist auch deren Summe und damit fn+1 durch 47 teilbar.

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Der neue Term beim Ersetzen von n durch n+1 lautet dann (nach Anwendung von Potenzgesetzen)

$$49\cdot 7^{2n} - 2\cdot 2^{n}$$.

Verglichen mit dem Ausgangsterm $$7^{2n} - 2^{n}$$ ist das

$$7^{2n} - 2^{n}+(48\cdot7^{2n} - 2^{n})$$.

Du müsstest nun zeigen, dass der hintere Summand $$(48\cdot 7^{2n} - 2^{n})$$ ebenfalls durch 47 teilbar ist..

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okay vielen Dank

wie kommst du auf 7^2n−2^n+(48⋅7^2n−2^n) ? den schritt habe ich noch nicht ganz verstanden

49 a = a + 48 a

und

-2b = -b -b

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