Stochastik Wurf 3 Würfel.

Question

Für den Wurf von drei Würfeln wird an der Würfelbude der nebenstehende Gewinnplan verwendet. Die Zufallsgröße X gibt die Auszahlung pro Wurf an.

Wurf: 1-mal 6 Auszahlung: 3€
Wurf: 2-mal 6 Auszahlung: 11€
Wurf: 3-mal 6 Auszahlung: a€

a) Der Betreiber der Würfelbude plant im Durchschnitt 2€ pro Spiel auszuzahlen. Welche Auszahlung a muss ee für den Wurf von 3 Sechsen festlegen? Wie groß sind dann die Varianz und die Standardabweichung?

b) Der Betreiber möchte das Spiel mit 2€ Einsatz pro Spiel anbieten. Mindestens 30% des Einsatzes soll als Gewinn verbucht werden. Stellen Sie mi5 diesem Vorgaben einen Gewinnplan für das Spiel auf. Berechnen Sie für Ihren Vorschlag den Erwartungswert und die Standardabweichung. 

P(0x6)=(5/6)*(5/6)*(5/6)=125/216
P(1x6)=3*(1/6)*(5/6)*(5/6)=75/216
P(2x6)=3*(1/6)*(1/6)*(5/6)=15/216
P(3x6)=(1/6)*(1/6)*(1/6)=1/216   
Wie muss ich jetzt den Erwartungswert ausrechnen? Mich verwirrt jetzt das a... Wie muss ich das ausrechnen ?  

Answer 1

Der Erwartungswert hängt natürlich von a ab:

$$E(X)=\frac{75}{216}\cdot 3 + \frac{15}{216}\cdot 11+\frac{1}{216}a=\frac{1}{216}a+\frac{65}{36}$$

Dann gleich 2 setzen um a zu berechnen und anschließend Varianz und Standardabweichung bestimmen.