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Ich muss eine Aufgabe Lösen und finde keinen Ansatz.

Sei (K, +, •) ein angeordneter Körper. Beweisen sie für alle a, b, λ ∈ K mit λ > 0:

(a) $$ \left| ab \right| \le \frac { 1 }{ 2λ } { a }^{ 2 }+\frac { λ }{ 2 } { b }^{ 2 } $$

(b) $$ { \left( a+b \right)  }^{ 2 }\ge 4ab $$
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(a)

$$\left| ab \right| \le \frac { 1 }{ 2λ } { a }^{ 2 }+\frac { λ }{ 2 } { b }^{ 2 }$$

$$<=>\left| ab \right| \le \frac { 2a²+2(λb)² }{ 4λ }$$

$$<=>4λ\left| ab \right| \le 2a²+2(λb)²$$

$$<=>2λ\left| ab \right| \le a²+(λb)²$$

 

Fallunterscheidung zur Auflösung des Betrags:

Fall 1: \(ab\ge 0\) dann: \(\left| ab \right| =ab\) und

$$2λ\left| ab \right| \le a²+(λb)²$$

$$<=>2λab\le a²+(λb)²$$

Auf beiden Seiten 2 λ a b  subtrahieren:

$$<=>a²-2aλb+(λb)²\ge 0$$

Zweite binomische Formel "rückwärts" anwenden:

$$<=>(a-λb)²\ge 0$$

Das aber gilt für alle x aus R, also auch für x = a - λ b

 

Fall 2: \(ab<0\) dann: \(\left| ab \right| =-ab\) und

$$2λ\left| ab \right| \le a²+(λb)²$$

$$<=>-2λab\le a²+(λb)²$$

Auf beiden Seiten 2 λ a b  addieren:

$$<=>a²+2aλb+(λb)²\ge 0$$

Zweite binomische Formel "rückwärts" anwenden:

$$<=>(a+λb)²\ge 0$$

Das aber gilt für alle x aus R, also auch für x = a + λ b

 

(b)

$${ \left( a+b \right)  }^{ 2 }\ge 4ab$$

Ausmultiplizieren:

$$<=>a²+2ab+b²\ge 4ab$$

Auf beiden Seiten 4ab subtrahieren:

$$<=>a²-2ab+b²\ge 0$$

Zweite binomische Formel "rückwärts" anwenden:

$$<=>(a-b)²\ge 0$$

Das aber gilt für alle x aus R, also auch für x = a - b

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