Aufgabe Spatprodukt:
a) Geben Sie den Flächeninhalt des von zwei Vektoren \( v, w \in \mathbb{R}^{3} \) aufgespannten Parallelogramms an.
b) Berechnen Sie den Abstand eines Punktes \( u \in \mathbb{R}^{3} \) von der Ebene \( \mathbb{R} v+\mathbb{R} w \).
c) Berechnen Sie das Volumen \( V_{S} \) des von den drei Vektoren \( u, v, w \in \mathbb{R}^{3} \) aufgespannten Spats
\( S:=\left\{\lambda v+\mu w+\rho u \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leqslant \lambda, \mu, \rho \leqslant 1\right\} \)
d) Zeigen Sie, dass für \( u=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), v=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \) und \( w=\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) \) gilt:
\( V_{S}=|\operatorname{det} A| \), wobei
\( A:=\left(\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{array}\right) \)
und
\( \operatorname{det} A:=x_{1} y_{2} z_{3}+x_{2} y_{3} z_{1}+x_{3} y_{1} z_{2}-x_{3} y_{2} z_{1}-x_{2} y_{1} z_{3}-x_{1} y_{3} z_{2} \)
