Aufgabe:
2. Gegeben seien ein Multindex \( \alpha \in \mathbb{N}_{0}^{n} \) mit \( |\alpha|=k \) und eine offene Menge \( U \subseteq \mathbb{R}^{n} . \) Zeigen Sie für jedes \( f, g \in C^{k}(U) \) die Leibniz-Regel
\[
D^{\alpha}(f g)=\sum \limits_{\beta \leq \alpha}\left(\begin{array}{l}
{\alpha} \\
{\beta}
\end{array}\right) D^{\beta} f D^{\alpha-\beta} g
\]
wobei \( \alpha \geq \beta \) genau dann, wenn, \( \beta_{j} \leq \alpha_{j} \) für \( j=1, \ldots, n, \) und der Binomialkoeffizient definiert ist durch
\[
\left(\begin{array}{c}
{\alpha} \\
{\beta}
\end{array}\right)=\frac{\alpha !}{\beta !(\alpha-\beta) !}
\]
Problem/Ansatz:
Ich sitze seit Stunden an dieser Aufgabe und ich komme leider überhaupt nicht voran. Könnte mir bitte jemand hierbei behilflich sein...
Das wäre wirklich sehr nett.
