Statistik Normalverteilung Intelligenzquotient, Probe von 9 Personen

Question 1

Aufgabe:

Die Intelligenzquotienten von erwachsenen Deutschen sind normalverteilt mit μ = 100 und σ = 10 . 9 Personen werden getestet. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
der mittlere IQ dieser Gruppe unter 99 liegt?

Problem/Ansatz:

N(100, 10)

Ich habe bei der Tabelle der Standardnormalverteilung Z(0.1) gesucht (da 99-100/10 = 0.1), in diesem Kasten steht 0.4602.

Ich weiß leider nicht, was ich mit den 9 Personen anfangen soll...das Ergebnis sollte 0.3821 ergeben, ich komme jedoch leider nicht auf dieses Ergebnis. Vielen Dank für Ihre Hilfe!

Question 2

die Summe normalverteilter Zufallsvariablen $ x_i $ ist wieder normalverteilt mit Mittelwert $ \sum_{i=1}^n \mu_i $ und Varianz $ \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 $.

Hier gilt mit $ \mu = 100 $ und $ \sigma=10 $ $$ \mathbb{E} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) = \mu $$ und $$ \mathbb{V} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) = \frac{\sigma^2}{n} $$ Also ist der Mittelwert $ N \left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) $ verteilt.

Mit dieser Verteilung ergibt sich $$ \mathbb{P} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) \le 99 = 0.3821 $$

ullim · Answer 1 · 2019-11-26T07:09:58+0000

die Summe normalverteilter Zufallsvariablen $ x_i $ ist wieder normalverteilt mit Mittelwert $ \sum_{i=1}^n \mu_i $ und Varianz $ \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 $.

Hier gilt mit $ \mu = 100 $ und $ \sigma=10 $ $$ \mathbb{E} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) = \mu $$ und $$ \mathbb{V} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) = \frac{\sigma^2}{n} $$ Also ist der Mittelwert $ N \left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) $ verteilt.

Mit dieser Verteilung ergibt sich $$ \mathbb{P} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) \le 99 = 0.3821 $$

Statistik Normalverteilung Intelligenzquotient, Probe von 9 Personen

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