Wenn man davon ausgeht, dass der Spritverbrauch normalverteilt ist mit Mittelwert \( \mu = 7.6 \) und \( \sigma = 0.6 \), dann stellt sich die Frage, kann eine Stichprobe der Größe \( n = 40 \) mit genügend hoher Wahrscheinlichkeit einen Mittelwert von \( \overline{X} = 7.8 \) haben.
Oder andersrum gefragt, wie groß ist der Wert der Zahl \( c \), wenn gelten soll $$ \mathbb{P} \left( \overline{X} > c \right)_{\mu = 7.6} = 0.05 $$
Wenn die Stichprobe wirklich aus einer Normalverteilung stammt mit \( \mu = 7.6 \) und \( \sigma = 0.6 \), dann hat die Stichprobe ebenfalls den MIttelwert \( \mu = 7.6 \) und eine Streuung von \( \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } \)
Das bedeutet, dass $$ \mathbb{P} \left( \overline{X} \le c \right)_{\mu = 7.6} = \Phi \left( \frac{ c-\mu }{ \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } } \right) = 1 - 0.05 = 0.95 $$ gelten muss, mit \( \Phi \) als Standardnormalverteilung.
Den Wert von \( c \) kann man jetzt aus Tabellen ablesen, da alle anderen vorkommenden Größen bekannt sind, und kommt auf \( c = 7.756 \)
D.h. aber, eine Spritverbrauch mit \( \overline{X} = 7.8 \), unter der Annahme einer Normalverteilung mit \( \mu = 7.6 \) und \( \sigma = 0.6 \) ist weniger wahrscheinlich als \( 5 \% \). Genau ausgerechnet ist ein mittlerer Verbrauch von \( 7.8 \) nur mit einer Wahrscheinlichkeit von \( 1.8 \% \) unter diesen Annahmen wahrscheinlich.
Aus diesem Grund würde man jetzt sagen, der gemessene Spritverbrauch unterscheidet sich signifikant von den gemachten Herstellerangaben.
