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Aufgabe:

Sei d ≥ 0 eine Ganze Zahl. Es existieren rationale Zahlen c0, c1, . . . , cd ∈ ℚ
mit der Eigenschaft, dass


$$\sum \limits_{k=1}^{n}k^d = \frac{n^{d+1}}{d+1} +c_dn^d +c_{d-1}n^{d−1} +...+c_0$$


für alle n≥1


Wie beweis ich diese Behauptung am besten? Nehme an mit Induktion. Ich weiß nicht was ich mit den Koeffizienten anfangen soll…

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Beste Antwort

Der Sinn des Satzes ist klar?

mit d= 1 ergibt sich Vadder Gauss:

1+2+3+...+n = 1/2 * n2 + ...                     genauer: 1/2 * n(n+1)

12 +22 +32+ ... n2 = 1/3 * n3 + ....          genauer: 1/3 n(n+1)(n + 1/2)


Schreibe den Satz so um, dass er simpel aussieht:

Satz: 1d+2d+3d+...nd = 1/(d+1) * nd+1 + p(nd), wobei p(nd) als Abkürzung steht für:

                                                         "Polynom mit rat. Koeff. und höchstens vom Grad d"

Bew:

Ind.Ver: n=1

1d = 1/(d+1) * 1d+1 + d/(d+1) * 1d  + 0 

1   =(d+1)/(d+1)           stimmt!  (cd=d/(d+1), alle restl. ci=0; andere Lös. gehen auch)

Ind. Schritt:

Es gelte für ein gewisses n∈ℕ: 1d+2d+3d+...nd = 1/(d+1) * nd+1 + p(nd)

Dann gilt:

1d+2d+3d+...nd + (n+1)d

          = 1/(d+1) * nd+1 + p(nd) + (n+1)d 

          = 1/(d+1) * nd+1                                           + p(nd) + \( \sum\limits_{k=0}^{d}{\begin{pmatrix} d\\k \end{pmatrix}n^{k}} \)

          = 1/(d+1) * (n+1)d+1 -1/(d+1)  \( \sum\limits_{k=0}^{d}{\begin{pmatrix} d+1\\k \end{pmatrix}n^{k}} \)  + p(nd) + \( \sum\limits_{k=0}^{d}{\begin{pmatrix} d\\k \end{pmatrix}n^{k}} \)

           = 1/(d+1) * (n+1)d+1 + p~(nd)    

           = 1/(d+1) * (n+1)d+1 + p≈((n+1)d)                     q.e.d.

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Vielen Dank

Hat schon viel geholfen. Ich verstehe aber nicht wie du von


$$ \frac{1}{d+1}n^{d+1}+p(n^{d})+\sum \limits_{k=0}^{d}\begin{pmatrix} d\\k \end{pmatrix}n^{k}$$


auf


$$\frac{1}{d+1}(n+1)^{d+1}-\frac{1}{d+1}\sum \limits_{k=0}^{d}\begin{pmatrix} d+1\\k \end{pmatrix}n^{k}+p(n^{d})+\sum \limits_{k=0}^{d}\begin{pmatrix} d\\k \end{pmatrix}n^{k}$$


gekommen bist. Und sind die beiden Restpolinome p~(nd)  und p≈((n+1)d) identisch?

ah erste Frage hat sich geklärt. Ist nur noch bei den Restpolinomen unklar.

(n+1)d+1  =  \( \sum\limits_{k=0}^{d+1}{\begin{pmatrix} d+1\\k \end{pmatrix}n^{k}} \) = nd+1 +  \( \sum\limits_{k=0}^{d}{\begin{pmatrix} d+1\\k \end{pmatrix}n^{k}} \)


p~(nd)  und p((n+1)d)  soll nur heißen:

Ein "Polynom mit rat. Koeff. und höchstens vom Grad d mit der Var. n" kann auch also "Polynom mit rat. Koeff. und höchstens vom Grad d mit der Var. n+1" aufgefasst werden, so dass die Form der Ind.ann. mit (n+1) entspricht. Wichtig ist nur: Vorne in der Summe steht das Glied vom Grad d+1, hinten nur die mit geringerem Grad.

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Sei

\(c_i = \begin{cases} \sum_{k=1}^n k^d-\frac{n^{d+1}}{d+1}&\text{ falls } i=0\\0 &\text{ falls } i\neq 0 \end{cases} \).

Dann ist

\(\sum \limits_{k=1}^{n}k^d = \frac{n^{d+1}}{d+1} +c_dn^d +c_{d-1}n^{d−1} +...+c_0\).

Außerdem ist \(c_i \in \mathbb{Q}\) für \(i \neq 0\) weil \(0\in\mathbb{Q}\) ist.

Begründe, dass auch \(c_0 \in \mathbb{Q}\) ist.

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