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Aufgabe:

Berechne das Integral:

\( \int \limits_{0}^{1}(g(x)-f(x)) d x \)
\( \int \limits_{0}^{1}(4-2 x)-\left(4-2 x-4 e^{-5 x}\right) dx \)


Wie rechne ich dieses Integral aus und was bekommt man für einen Flächeninhalt heraus?

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4-2x hebt sich auf.

$$ \int 4 e^{-5 x} d x= -\frac{4}{5} e^{-5 x}+C$$


$$\int \limits_{0}^{1} 4  e^{-5 x} d x= -\frac{4}{5} e^{-5}+ \frac{4}{5}=\frac{4}{5}(1- e^{-5})\approx0.7946096424$$


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Erste Ideen bei falscher Aufgabenstellung:

Bei x^(-5x) hast du dich bestimmt verschrieben. Soll das ganz rechts 1x oder dx sein?

$$ \int 4 x e^{-5 x} d x=4 e^{-5 x}\left(-\frac{x}{5}-\frac{1}{25}\right)+C$$

$$\int \limits_{0}^{1} 4 x e^{-5 x} d x=\frac{4}{25}\left(1-\frac{6}{e^{5}}\right) \approx 0.15353 $$


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Avatar von 47 k

Es soll 1x sein

Und es soll nicht x-5x heißen sondern e-5x

Welchen Sinn hat denn der Faktor 1 vor dem x? Und wie sieht die originale Aufgabenstellung aus?

Ich habe meine Antwort mal ergänzt.

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Du kannst erstmal den Ausdruck sehr stark vereinfachen!

\(\int_0^1 ((4-2x)-(4-2x-4x^{-5x}))dx=4\cdot \int_0^1x^{-5x}dx \). So ein Integral ist nicht geschlossen lösbar. Du kannst das aber numerisch lösen.

Man kann es mit einem Computer direkt, auch nur numerisch, nach dieser Abbildung:

blob.png

$$ A_k=\frac{1}{n}\cdot f(x),\text{ mit  } x:=\frac{k}{n} $$

Dann hat man:

$$ \sum_{k=0}^{a\cdot n-1}{A_k}=\sum_{k=0}^{a\cdot n-1}{\frac{1}{n}\cdot f\Bigg(\frac{k}{n}\Bigg)}=\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=0}^{a\cdot n-1}{ f\Bigg(\frac{k}{n}\Bigg)} $$

$$ f(x)=x^{-5x}\qquad : \int_0^1 x^{-5x}dx\\ \stackrel{n=1000}{\approx} \frac{1}{1000}\cdot \sum_{k=0}^{999} \Big( \frac{k}{1000}\Big)^{-5\cdot \frac{k}{1000}}\approx 3.9561$$

Also erhält man näherungsweise

$$ 4\cdot \int_0^1x^{-5x}dx\approx \underline{\underline{15,8244}} $$

Python-Code:

from math import*

n = int(input(' n = '))    #Einteilungsschritte
a = float(input(' a = '))  #Obergrenze

summe = 0
k=0                              #Laufvariable k
while k<=a*n-1:          #Es wird solange aufaddiert, bis diese Bedingung nicht mehr gilt
    summe = summe+(k/n)**(-5*k/n)
    k = k+1

print(summe/n)

Avatar von 14 k

Sollst du also das hier lösen??

$$ \int_0^1 ((4-2x)-(4-2x-4\cdot e^{-5x}))\cdot 1x \ \ dx\\=4\cdot \int_0^1 x\cdot e^{-5x} \ \ dx $$

Ja, aber nur die obere Aufgabe und statt 1x nur dx

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