Aloha :)
$$r(t)=15t^2-t^3=t^2(15-t)$$$$r'(t)=30t-3t^2=3t(10t-t)$$$$r''(t)=30-6t=6(5-t)$$$$r'''(t)=-6\ne0$$a) Hier ist nach dem Maximum gefragt:$$r'(t)\stackrel{!}{=}0\quad\Rightarrow\quad t=0\;\lor\;t=10$$\(t=0\) scheidet aus, weil es der Startpunkt der Kurve ist. Wir prüfen noch kurz, ob nach \(t=10\) Wochen tatsächlich ein Maximum vorliegt:$$f''(10)=6\cdot(-5)=-30<0\quad\Rightarrow\quad\text{Maximum!}$$
b) Hier ist nach dem Maximum der ersten Ableitung gefragt, also muss \(r''(0)=0\) sein. Das heißt, wir suchen einen Wendepunkt.$$r''(t)=0\quad\Rightarrow\quad t=5$$Da \(r'''(t)\ne0\) ist, liegt nach \(t=5\) Wochen ein Wendepunkt vor und die Absatzzahlen steigen am schnellsten.
c) Nach der 10-ten Woche ist der Absatz \(r(10)=500\). Er ist von \(0\) auf \(500\) gestiegen. Auf 10 Wochen verteilt ist das eine mittlere Steigerung von \(\frac{500}{10}=50\) pro Woche.
