Aus einer Urne mit n weissen und 1 roten Kugel wird n-mal nacheinander eine Kugel mit Zurücklegen gezogen

Question

Aufgabe:

Aus einer Urne mit n weissen und 1 roten Kugel wird n-mal nacheinander eine Kugel mit Zurücklegen gezogen, d.h. es wird so oft gezogen, wie es weisse Kugeln in der Urne hat.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei die rote Kugel nicht gezogen?
Berechne den Wert dieser Wahrscheinlichkeit für n= 100 und n= 1000 und bestimme ihren Grenzwert für .

Answer 1

Aloha :)

Wir haben \(n\) weiße und 1 rote Kugel. Es wird \(n\)-mal mit Zurücklegen gezogen, d.h. die Wahrscheinlichkeiten bleiben bei jedem Zug gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass die rote Kugel nicht gezogen wird, ist \(1\) minus der Wahrscheinlichkeit, dass die rote Kugel gezogen wird:$$p(n)=1-\left(\frac{1}{n+1}\right)^n$$Mein Taschenrechner zeigt bei \(p(100)\) schon den Grenzwert \(1\) an, bei \(p(1000)\) erst recht. Der Grenzwert \(p(\infty)=1\) ist auch plausibel, weil es wegen der steigenden Anzahl \(n\) der Kugeln immer unwahrscheinlicher wird, die eine rote Kugel zu ziehen.

Comments

Danke schön Aloha