Gerade/Lotgerade aufstellen

Question

Gegeben sei der Punkt C(2I9I-1) und die Gerade g : \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} \) + r * \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\-1 \end{pmatrix} \)

L sei der Lotfußpunkt von C auf g

Ich habe eine Gerade h mit \( \vec{OC} \) als Stützvektor gebildet. Da L der Lotfußpunkt von C ist, habe ich für h einen Richtungsvektor gesucht, der zu dem Richtungsvektor von g orthogonal ist. \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\-1 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \) = 0

Also sieht meine Gerade h so aus: h : \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\9\\-1 \end{pmatrix} \) + k \( \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \)

L muss jetzt der Schnittpunkt zwischen h und g sein.

I 2 + r = 2 + 2k

II 2 - 2r = 9 + k

III 1 - r = -1

Wenn ich III nach r auflöse, erhalte ich r = 2

Nun setze ich r in II ein und löse nach k

2 - 4 = 9 + k

-2 = 9 + k

-11 = k

Dann habe ich k und r in I eingesetzt, um zu überprüfen, ob ein Widerspruch existiert:

2 + 2 = 2 + 2 * (-11)

4 = -20

Kann jemand bitte mir erklären, wo mein Fehler liegt?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde nicht \(\overrightarrow{0C}\) als Stützvektor nehmen, weil er keinen Bezug zu der Geraden hat. Stattdessen würde ich den Stützpunkt der Geraden nehmen und von dort den Vektor zu \(C\) ziehen. Diesen Vektor projezierst du dann auf den Richtungsvektor der Geraden und hast den Punkt \(L\):

$$\vec L=\left(\begin{array}{c}2\\2\\1\end{array}\right)+\left(\left[\left(\begin{array}{c}2\\9\\-1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\2\\1\end{array}\right)\right]\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec L}=\left(\begin{array}{c}2\\2\\1\end{array}\right)+\frac{1}{6}\left(\left(\begin{array}{c}0\\7\\-2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\2\\1\end{array}\right)+\frac{1}{6}\cdot(-12)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)$$$$\phantom{L}=\left(\begin{array}{c}2\\2\\1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\-4\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\6\\3\end{array}\right)$$Die Lotgerade ist dann:$$g_\perp:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}2\\9\\-1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-2\\-3\\4\end{array}\right)$$