Ableiten einer Matrixfunktion mit Kettengel

Question

Könnte mir bitte jemand die erste Zeile zu dieser Aufgabe sagen? Ich weiß nicht genau wie ich es mit der kettenregel machen soll. Habe ich dann nicht das inverses von B? Das macht irgendwie nicht viel Sinn

Die Matrixfunktion inv : \( \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, \operatorname{inv}(A)=A^{-1} \) hat die Ableitung inv \( ^{\prime}(A) \)
\( \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, B \mapsto-A^{-1} B A^{-1} . \) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion \( f: \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \)
\( \mathbb{R}^{n \times n}, f(A)=A^{-2}, \) mit Hilfe der Kettenregel und der Funktion sqr \( (A)=A^{2} \) mit der bekannten Ableitung \( \operatorname{sqr}^{\prime}(A) B=A B+B A \)
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Comments

Hallo,

die Funktion ist doch \(f=inv \circ sqr\). Was hindert Dich, zunächst formal die Kettenregel für \(f'(A)B\) aufzuschreiben - und dann konkret die gegebenen Ableitungen einzusetzen.

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Weil ich nicht weiß wie ich mit dem B umgehen solle, also den ersten Schritt der kettenregel, das nachdifferenzieren ist kein Problem. Also wenn ich praktisch (A^(-1))^2 ableiten will: geht es dann so?:

(A^-1B+BA^-1)(-A^-1BA^-1)

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Warum schreibst Du nicht die Formel der Kettenregel hin??

Gruß

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Die Formel für die kettenregel ist f(x)=u(v(x))

f‘(x)=u‘(v(x))v‘(x)

Aber ich kenne die Formel ja, also wenn ich für u A^2 nehme und für v A^-1

Kommt dann (A^-1B+BA^-1)(-A^-1BA^-1) raus?

Answer 1

Hallo,

Du hast die Kettenregel im Allgemeinen noch nicht richtig verdaut: Ableitungen sind linear Abbildungen und die Verknüpfung der äußeren und inneren Ableitung ist die Hintereinanderausführungen der Ableitungen als lineare Abbildungen.

Also wenn \(u(A)=A^2\) ist und \(u'(A)B=AB+BA\), dann erscheint das B ja "nur", um die Wirkung der linearen Abbildung \(u'(A)\) zu beschreiben.

Die Kettenregel bedeutet jetzt, dass hier das B durch v'(A)B zu ersetzen ist, also:

$$[(u \circ v)'(A)]B=v(A) v'(A)B+v'(A)B v(A)=A^{-1}(-A^{-1}BA^{-1})+(-A^{-1}BA^{-1})A^{-1}$$

Jetzt hoffe ich, ich bin nicht selbst durcheinander gekommen, deshalb prüfe mal, was ich gesagt habe, und mache den Test: Leite das ganze in der umgekehrten Reihenfolge ab; denn es ist ja hier (nur hier) genauso gut \(f=v \circ u\)

Gruß

Comments

Ahhh danke, ja denke das stimmt