0 Daumen
1,1k Aufrufe

Hallo. Wie kommt man auf die Winkel? Ich weiß bis jetzt das es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.



(b) Untersuchen Sie, ob das Dreieck \( A B C \), dessen Eckpunkte durch die Ortsvektoren
$$ a=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 10 \\ -4 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad c=\left(\begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 7 \end{array}\right) $$
gegeben sind, gleichschenklig oder sogar gleichseitig ist. Bestimmen Sie auBerdem die GröBen der drei Innenwinkel \( \alpha, \beta \) und \( \gamma \)

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Die Kanten des Dreiecks sind:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}-1\\10\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\7\\-4\end{pmatrix}\quad;\quad\overline{AB}=\sqrt{3^2+7^2+4^2}=\sqrt{74}$$$$\overrightarrow{BC}\!=\!\vec c-\vec b\!=\!\begin{pmatrix}-2\\0\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\10\\-4\end{pmatrix}\!=\!\begin{pmatrix}-1\\-10\\11\end{pmatrix}\;;\;\overline{BC}=\sqrt{1^2+10^2+11^2}=\sqrt{222}$$$$\overrightarrow{CA}=\vec a-\vec c=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\0\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\-7\end{pmatrix}\quad;\quad\overline{CA}=\sqrt{4^2+3^2+7^2}=\sqrt{74}$$Es handelt sich also um ein gleichschenkliges aber kein gleichseitiges Dreieck.

Die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{CA}\) sind gleich lang. Der Winkel \(\alpha\) zwischen ihnen ist:

$$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}=-\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}}{\overline{AB}\cdot\overline{CA}}=-\frac{1}{74}\begin{pmatrix}-3\\7\\-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\3\\-7\end{pmatrix}=-\frac{37}{74}=-\frac{1}{2}$$$$\alpha=\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=120^o$$Die beiden anderen Winkel \(\beta\) und \(\gamma\) müssen zusammen \(60^o\) groß sein. Weil das Dreieck gleichschenklig ist, müssen sie auch beide gleich groß sein, daher ist:$$\beta=\gamma=30^o$$

Avatar von 148 k 🚀

Wie kommen Sie auf cos Alpha = (Vektor ab * Vektor ac) / (Vektor ab * Vektor ac). ?


Ist das nicht cos Alpha = ankathete/ hypothenuse?

Allgemein habe ich den Rechenweg nicht verstanden..

Warum hast du eine Antwort, die du nicht einmal verstehst, als "beste Antwort" ausgezeichnet?


Ist das nicht cos Alpha = ankathete/ hypothenuse?

Das gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Und Wie ist das bei Dieseln dreieck ? Wie kommt man auf das Verhältnis

Und Wie ist das bei Dieseln dreieck ?

Ähnlich wie bei den Benzinern.

Man verwendet das Skalarprodukt von Vektoren (Kennst du?), um den Winkel zwischen Vektoren zu berechnen.

Wenn dir die Winkelberechnung übder das Skalarprodukt unbekannt ist, dann zerlege das gleichschenklige Dreieck mit seiner Symmetrieachse in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.

Das war ein ungewollter Rechtschreibfehler tut mir leid

Warum wurde cos Alpha = (Vektor ab * Vektor ac) / (Vektor ab * Vektor ac) negativ gemacht?

Wenn du den Winkel zwischen 2 Vektoren mit dem Skalarprodukt bestimmen willst, dann müssen diese beiden Vektoren denselben Startpunkt haben. Der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) führt von A nach B. Der Vektor \(\overrightarrow{AC}\) führt von A nach C. Das passt also. Da wir oben in der Rechnung aber nur den Vektor \(\overrightarrow{BA}\) hatten, der von B nach A führt, mussten wir dessen Richtung umkehren:$$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$$

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community