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Aufgabe:

Die Zeit X (in Tagen), die ein Arbeitsloser braucht, um wieder eine Anstellung zu finden, hat annähernd eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit folgender Dichtefunktion:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & x<0 \\ 0.0066 \cdot \exp (-0.0066 x) & x \geq 0\end{array}\right. \)

 
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser genau 334 Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser nicht mehr als 75 Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

c. Nach wie vielen Tagen hat ein Arbeitsloser mit einer Wahrscheinlichkeit von 77% eine Anstellung gefunden?

d. Wie viele Tage dauert es im Mittel, bis ein Arbeitsloser wieder eine Anstellung findet?


.Lg

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Aloha :)

Wir bestimmen zunächst aus der Dichtefunktion \(f(x)\) die Verteilungsfunktion \(F(x)\):

$$F(x)=\int\limits_0^x0,0066\cdot e^{-0,0066\,t}\,dt=\left[-e^{-0,0066\,t}\right]_{t=0}^x=-e^{-0,0066\,x}-(-e^0)$$$$\underline{F(x)=1-e^{-0,0066\,x}\quad;\quad x\ge0}$$Damit können wir die folgenden Fragen beantworten.

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser genau 334 Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden, ist theoretisch gleich null, weil wir zur Anwendung einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. Verteilungsfunktion immer ein Intervall benötigen. Praktisch rechnet man in solchen Fällen mit der sog. "Stetigkeitskorrektur" und sagt, dass er 334 Tage benötigt, wenn er mindestens 333,5 Tage und höchstens 334,5 Tage benötigt. Damit haben wir nun einen Zeitraum und können die Wahrscheinlichkeit berechnen:$$P(333,5\le X\le334,5)=F(334,5)-F(333,5)=0,0728\%$$Hier bei der Eingabe aber bitte aufpassen. Es kann auch sein, dass die Lösung \(0\%\) gemeint ist, je nach dem, ob die Stetigkeitskorrektur angewendet werden soll oder nicht. Wenn ihr die Stetigkeitskorrektur im Unterricht noch nicht hattet, würde ich \(0\%\) eingeben.

b) Nicht mehr als 75 Tage bedeutet maximal 75 Tage:$$P(X\le75)=F(75)=39,0429\%$$

c) Hier müssen wir eine Gleichung lösen:$$\left.0,77\stackrel{!}{=}F(x)=1-e^{-0,0066\,x}\quad\right|\;-1$$$$\left.-0,23=-e^{-0,0066\,x}\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$\left.e^{-0,0066\,x}=0,23\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.-0,0066\,x=\ln(0,23)\quad\right|\;:(-0,0066)$$$$\left.x=\frac{\ln(0,23)}{-0,0066}=222,6782\quad\right.$$Hier musst du eventuell bei der Eingabe auf ganze Tage runden, also \(223\).

d) Den gesuchten Mittelwert \(\langle X\rangle\) bestimmen wir mit der Dichtefunktion:

$$\langle X\rangle=\int\limits_0^\infty x\,f(x)\,dx=0,0066\int\limits_0^\infty\underbrace{ x}_{=u}\,\underbrace{e^{-0,0066x}}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{\langle X\rangle}=0,0066\left(\underbrace{\left[\underbrace{ x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{e^{-0,0066x}}{-0,0066}}_{=v}\right]_0^\infty}_{=0}-\int\limits_0^\infty\underbrace{ 1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{e^{-0,0066x}}{-0,0066}}_{=v}dx  \right)$$$$\phantom{\langle X\rangle}=\int\limits_0^\infty e^{-0,0066x}dx=\left[\frac{e^{-0,0066x}}{-0,0066}\right]_0^\infty=0-\frac{1}{-0,0066}=151,\overline{51}$$Auch hier musst du bei der Eingabe eventuell wieder auf ganze Tage runden, also \(152\).

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Könntest du mir bitte auch bei meinem Beispiel weiterhelfen? Ich habe nur 0,83 Punkte von 2 bekommen...


Die Zeit X (in Tagen), die ein Arbeitsloser braucht, um wieder eine Anstellung zu finden, hat annähernd eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit folgender Dichtefunktion:


blob.png

a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser genau 36 Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? =0 

b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser zwischen 69 und 102 Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

c. Nach wie vielen Tagen hat ein Arbeitsloser mit einer Wahrscheinlichkeit von 69% eine Anstellung gefunden?
137.0
d. Wie viele Tage dauert es im Mittel, bis ein Arbeitsloser wieder eine Anstellung findet?
117.0


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