Reihe 1/n+ntewurzel(n)

Question

Aufgabe: Untersuchung auf Konvergenz von:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n*\sqrt[n]{n}}} \)

Problem/Ansatz:

Eigentlich eine sehr kurze Frage. So wie ich das verstanden habe, darf ich hier einfach die Produktregel benutzen und 1/n und 1/ntewurzel(n) auseinander ziehen. Dann kann ich sagen, dass lim 1/ntewurzel(n) einfach 1 ist und dass 1/n divergent ist

Comments

darf ich hier einfach die Produktregel benutzen

Der Begriff "Produktregel" ist bereits besetzt. So nwennt man die Ableitungsregel für die Ableitung eines Produkts.

Was meinst du mit "Produktregel"?

Answer 1

Es ist \(\sqrt[n]{n}<2\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) , also \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}>\frac{1}{2}\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty\). Damit ist die Divergenz nach dem Vergleichskriterium bewiesen. Dafür musst du aber bewiesen haben, dass \(\sqrt[n]{n}\to 1\) für \(n\to \infty\).

Comments

Das ist eine sehr gute Antwort auf die Aufgabenstellung vielen Dank, aber ist es möglich das so zu begründen, wie ich das vorgeschlagen habe?

Ich frage nur interessehalber.

---

Ich verstehe dich so, du willst folgendes machen:$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}}=\left(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\right)\left(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\right)$$ Dies ist aber nicht richtig. Das gilt auf gar keinen Fall i. A. und insbesondere nicht für zwei divergente Reihen.

Vgl. Cauchyprodukt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

---

Ich habe gerade gemerkt, dass ich einen großen Denkfehler hatte und die Produktregel beim limes gerade bei Reihen verwenden wollte. Dann danke für die hilfreiche Antwort.