Satz von Rolle. Anwendbar ohne [...,...] → ℝ?

Question

Kann ich hier den Satz von Rolle benutzen?

Sei f: [a,b] → [0, ∞) eine stetige Funktion. a,b ∈ ℝ mit a < b.

Im Satz steht :

Sei f: [a,b] → ℝ eine stetige Funktion, die auf (a,b) differenzierbar ist.

Die Frage kommt daher, dass ich auf [0, ∞) abbilde und in der Definition auf ℝ.

Answer 1

Aloha :)

Im Satz steht als Zielmenge \(\mathbb R\), was ja allgemeiner ist als die Zielmenge \([0;\infty)\). Daher ist das keine Einschränkung für die Verwendung des Satzes.

Aber: Aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit, die Umkehrung gilt nicht. Da der Satz von Rolle die Differenzierbarkeit voraussetzt, kannst du ihn auf eine stetige Funktion zunächst nicht anwenden. Du musst erst zeigen, dass diese stetige Funktion auch differenzierbar ist, bevor du den Satz anwendest.

Comments

Macht Sinn, habe nicht darüber nachgedacht, dass die Definition allgemeiner ist und deswegen auch für einen kleineren Bereich gilt.

Dankeschön! :)