Kehrwerte, Leistung, Unbekannte im Nenner

Question

Die Summe der Kehrwerte von 2 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist das Siebenfache der Differenz dieser Kehrwerte. Welche Zahlen sind es?

Answer 1

( 1 /  n ) + 1 / ( n + 1 ) = 7 * ( ( 1 /  n ) - 1 / ( n + 1 ) )

<=> ( 1 /  n ) + 1 / ( n + 1 ) = ( 7 /  n ) - 7 / ( n + 1 )

<=>  8 / ( n + 1 ) = ( 6 /  n )

<=> 8 n = 6 n + 6

<=> 2 n = 6

<=> n = 3

Die gesuchten Zahen sind also 3 und 4

Probe:

1 / 3 + 1 / 4 = 7 / 12

7 * ( 1 / 3 - 1 / 4 ) = 7 / 12

Answer 2

Hallo eli137,

 

zwei aufeinander folgende natürliche Zahlen sind allgemein x und x+1.

Ihre Kehrwerte sind 1/x und 1/(x+1).

Summe ihrer Kehrwerte = 1/x + 1/(x+1)

Differenz ihrer Kehrwerte = 1/x - 1/(x+1)

Also

1/x + 1/(x+1) = 7 * [1/x - 1/(x+1)] | Hauptnenner x * (x+1) = x² + x

(x+1)/(x² + x) + x/(x² + x) = 7 * [(x+1)/(x² + x) - x/(x² + x)]

(x+1)/(x² + x) + x/(x² + x) = (7x+7)/(x² + x) - 7x/(x² + x) | * (x² + 2)

x + 1 + x = 7x + 7 - 7x

2x = 6

x = 3

x + 1 = 4

 

Probe:

Summe der Kehrwerte = 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12

Differenz der Kehrwerte = 1/3 - 1/4 = 4/12 - 3/12 = 1/12

 

Die gesuchten Zahlen sind also 3 und 4.

 

Besten Gruß