Wie beweist man Ableitung der ln-Funktion?

Question

Aufgabe:

Hey wie beweise ich diese alternierende ln Funktion? Siehe Foto

Problem/Ansatz:

Ich weiß wirklich nicht wie ich hier vorgehen soll. Soll ich erstmal 0 einsetzen?

Text erkannt:

(c) $\ln ^{(n)}(x)=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{x^{n}}$ für alle $n \in \mathbb{N}$.

Comments

Hey wie beweise ich diese alternierende ln Funktion?

Versuche mal deine Frage so zu formulieren, dass dein EIGENTLICHES Anliegen in verständlichen Worten ausgedrückt wird.

Answer 1

Aloha :)

Behauptung:$$\ln^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\,\frac{(n-1)!}{x^n}\quad;\quad n\in\mathbb N$$

Verankerung bei $n=1$:$$\ln^{(1)}(x)=\left(\,\ln(x)\,\right)'=\frac{1}{x}=1\cdot\frac{0!}{x}=(-1)^{1-1}\cdot\frac{(1-1)!}{x^1}=(-1)^{n-1}\cdot\frac{(n-1)!}{x^n}\quad\checkmark$$

Indktionsschritt $n\to n+1$:

Da die Behauptung nach Induktionsvoraussetzung bereits für $n$ gezeigt ist, können wir die $(n+1)$-te Ableitung der Logarithmusfunktion darauf aufbauen:

$$\ln^{(n+1)}(x)=\left(\,\ln^{(n)}(x)\,\right)'=\left(\,(-1)^{n-1}\,\frac{(n-1)!}{x^n}\,\right)'=(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot\left(\,x^{-n}\,\right)'$$$$\phantom{\ln^{(n+1)}(x)}=(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot\left(-nx^{-n-1}\right)=(-1)^n(n-1)!\cdot n\cdot\frac{1}{x^{n+1}}$$$$\phantom{\ln^{(n+1)}(x)}=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}=(-1)^{(n+1)-1}\frac{((n+1)-1)!}{x^{n+1}}\quad\checkmark$$

Comments

Wie kommst du dort auf die n-1 ? Woran hast du erkannt, dass es sich um eine Ableitung handeln muss?

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Das liegt in der Schreibweise. $f^{(n)}{x}$ bedeutet normalerweise die $n$-te Ableitung von der Funktion $f$. Also musste das hier die $n$-te Ableitung vom Logarithmus bedeuten.

Die $(n-1)!$ habe ich eigentlich immer nur aus der Induktionsvoraussetzung mitgeschleift.

Answer 2

Probiere es mit dem Konstanzkriterium.

Comments

Wir haben das gar nicht gehabt. Eigentlich war das sehr rudimentär wie der uns die Inuktion erklärt hat

Answer 3

Wenn eine Aufgabe lautet "Beweise für alle n...", dann ist das Beweisverfahren der vollständigen Induktion sehr häufig ein geeignetes Mittel.

Comments

ja und wie forme ich die Gleichung um?

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Erst redest du von Funktion, jetzt von Gleichung. Hast du nicht begriffen, dass es hier um eine Formel für die n-te Ableitung der ln-Funktion geht?

Der Induktionsschritt wird also darin bestehen, die n-te Ableitung nochmals abzuleiten.

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Anscheinend habe ich es nicht begriffen, deswegen bin ich in diesem Forum und nicht, um mich für meine Unwissenheit beleidigen zu lassen. Danke für nichts

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Es ist eben immer sinnvoll, wenn man eine Frage stellt, zu wissen was die Frage sein soll.