Zeigen Sie die folgende Version des Satzes von Rolle

Question

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Zeigen Sie die folgende Version des Satzes von Rolle:
Es sei \( f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
(i) \( f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) ist stetig;
(ii) \( f \) ist differenzierbar in \( (a, \infty) \);
(iii) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=f(a) \)
Dann gibt es ein \( c \in(a, \infty), \) so dass \( f^{\prime}(c)=0 \) gilt.

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Es sei \( f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
(i) \( f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) ist stetig;
(ii) \( f \) ist differenzierbar in \( (a, \infty) \);
(iii) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=f(a) \)
Dann gibt es ein \( c \in(a, \infty), \) so dass \( f^{\prime}(c)=0 \) gilt.

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Es sei \( f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
(i) \( f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) ist stetig;
(ii) \( f \) ist differenzierbar in \( (a, \infty) \);
(iii) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=f(a) \)
Dann gibt es ein \( c \in(a, \infty), \) so dass \( f^{\prime}(c)=0 \) gilt.

Answer 1

Wenn \(f\) injektiv wäre, dann wäre \(f\) wegen seiner

Stetigkeit entweder streng monoton

steigend oder streng monoton fallend. Ich betrachte den ersteren Fall.

der letztere geht analog.

Wegen der strengen Monotonie gilt

\(f(a)\lt f(a+1)\lt f(a+2)\lt \cdots \lt f(a+n) \lt \cdots\).

Hieraus ergibt sich

\(f(a)\lt f(a+1) \leq \lim_{n\rightarrow\infty}f(a+1+n)=f(a)\), also

ein Widerspruch.

\(f\) ist also nicht injektiv. Es gibt daher \(x_1,x_2\in [a,\infty),\; x_1\neq x_2\)

mit f(x_1)=f(x_2).

Nach dem Satz von Rolle gibt es dann ein \(c\in (x_1,x_2)\) mit \(f'(c)=0\).