Wie kann ich beweisen, dass die Determinante einer Matrix mit linear Abhängigen Vektoren=0 ist?

Question

Es sei zu zeigen: rg(A)=max{r|es ex. eine rxr-Teilmatrix B von A mit det(B)\neq 0}

Dafür will ich zeigen, dass die Determinante einer Matrix mit linear Abhängigen Spalten/Zeilenvektoren =0 ist.

Answer 1

https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2561

schau mal hier. Ist der Beweis, wenn du nach dem Laplaceschen Satz die Determinante berechnen willst. Gibt natürlich noch andere Möglichkeiten. Die setzen allerdings meiner Meinung nach mehr voraus.

Comments

ansonsten kannst du dir das auch folgendermaßen erklären, dass die Determinante 0 ist, wenn du linear abhängige Spalten oder Zeilen hast: Angenommen du hast eine Matrix mit linear abhängigen Zeilen. Sei das A ∈K^nxn. Jede derartige Matrix kannst du allein durch Addieren oder Subtrahieren des k-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile so verändern, dass du mindestens eine Zeile in der Matrix hast, in der nur 0 stehen. Sei diese Matrix A', ebenfalls ∈Knxn. Dieses Addieren oder Subtrahieren des k-fachen einer Zeile zu einer anderen ist ein Umformungs-Typ, den du aus dem Gauss-Verfahren kennen solltest. Durch Anwenden dieses Typs bleibt die Determinante trotzdem unverändert, d.h. Det(A)=Det(A'). Die Determinante einer Matrix ∈Knxn, in der eine Zeile 0 ist, ist immer 0. Um das einzusehen, musst du dir nur anschauen, wie sich eine Determinante berechnen lässt. Als letztes müsstest du noch wissen, dass jede Matrix mit linear abhängigen Spalten auch linear abhängige Zeilen hat. Das liegt daran, dass Zeilenrang=Spaltenrang. Zusammengefasst könntest du dir so erklären, weshalb die Determinante einer Matrix ∈Knxn in der die Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, immer gleich 0 ist.