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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, für die die Potenzreihe


R(x) := Σ (x-1)n / (n+1) 

konvergiert. Sei

M:= x∈ ℝ Ι R(x) ist konvergent


Wie lauten Supremum und Infimum dieser Menge? Besitzt M ein Minimum und ein Maximum?


Problem:

Wie gehe ich hier vor? Bei einer Folge weiß ich, dass ich n Wegkürzen sollte und eben schauen muss gegen welchen Wert die Folge strebt... - wie funktioniert das aber, wenn ich ein Summenzeichen vor der Reihe hab? Gleich wie ohne oder muss ich anders vorgehen?

Und wie bestimme ich Supremum und Infimum der Menge?

Habe nächste Woche Prüfung und bereite mich vor und wäre sehr dankbar für einen Lösungsweg nach dem ich in den anderen Beispielen auch vorgehen kann!

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Aloha :)

Von der Potenzreihe$$R(x)\coloneqq\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1}\cdot(x-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot(x-1)^n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{1}{n+1}$$musst du zuerst den Konvergenzradius bestimmen \(r\) bestimmen:

$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n+2}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n+2}{n+1}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n+1+1}{n+1}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|1+\frac{1}{n+1}\right|=1$$

Damit wissen wir, dass die Reihe konvergiert für:$$|x-1|<r=1\implies -1<x-1<1\implies0<x<2\implies x\in(0|2)$$

Wir müssen noch die "Ränder" dieses Intervalls auf Konvergenz prüfen:

$$R(0)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}=\ln(2)$$Für \(x=0\) konvergiert die Reihe gegen \(\ln(2)\). Wenn du die Potenzreihe für die Logarithmusfunktion nicht auswendig kennst, kannst du mit dem Leibniz-Kriterium argumentieren. Die Reihe konvergiert, weil \(a_n=\frac{1}{n+1}\) eine monotone Nullfolge ist.

$$R(2)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$Für \(x=2\) divergiert die Reihe, weil die harmonische Reihe divergiert.

Damit haben wir die Menge \(M\) gefunden:\(\quad M=[0|2)\).

Die untere Grenze \(0\) gehört zur Menge, ist also ein Minimum.

Die obere Grenze \(2\) gehört nicht zur Menge, ist also ein Supremum.

Bemerkung: Maximum und Minimum unterscheiden sich von Supremum und Infimum dadurch, dass die ersten beiden tatsächlich als Werte gewählt werden können.

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TAUSEND DANK!!!!!!!! #retter

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Wie lauten Supremum und Infimum dieser Menge? Besitzt M ein Minimum und ein Maximum?

Hier ist einfach nur nach dem unteren und oberen Rand des Konvergenzradius gefragt. Für dessen Berechnung gibt es eine Formel, die du sicher findest.

Avatar von 53 k 🚀

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