Vollständige Induktion mathematik

Question

Hallo. Wer kann mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

Mit freundlichen Grüßen

Betrachten Sie die folgende Aussage:

$$ \forall n \in M: n^{2}-2 n-1>0 $$
Hierbei soll \( M=\{k, k+1, k+2, \ldots\} \subset \mathbb{N} \) mit einem \( k \in \mathbb{N} \) gelten. Finden Sie das kleinste \( k \) für welches die Aussage gilt und zeigen Sie diese sodann mit vollständiger Induktion. Mit anderen Worten: Finden Sie vor dem Induktionsbeweis heraus, welche die kleinste Zahl ist, für die die Aussage gilt, und nutzen Sie diese für den Induktionsanfang.

Comments

Also ich denke, durch einfaches einsetzen, dass ersichtlich ist für n => 3 gilt die Aussage. Mathematisch korrekt, wende einfach die pq Formel an.

Answer 1

n^2-2n-1

=n^2-2n+1-2

=(n-1)^2-2

--------

n=2 → n^2-2n-1=-1<0

n=3 → n^2-2n-1=2>0

ISchritt für n+1

(n+1)^2-2(n+1)-1

=n^2+2n+1-2n-2-1

=(n^2-2n-1)+2n+1-2

=(n^2-2n-1)+2n-1

Sowohl der Klammerterm als auch 2n-1 sind für n>3 positiv.

:-)