Sei K K K ein Körper und n≥1 n \geq 1 n≥1 ein natürliche Zahl. Seien a1,…,an∈K a_{1}, \ldots, a_{n} \in K a1,…,an∈K und setzeU : ={(x1⋮xn)∈Kn∣a1x1+…+anxn=0} U:=\left\{\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) \in K^{n} \mid a_{1} x_{1}+\ldots+a_{n} x_{n}=0\right\} U : =⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎝⎜⎜⎛x1⋮xn⎠⎟⎟⎞∈Kn∣a1x1+…+anxn=0⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫(1) Zeigen Sie, dass U⊂Kn U \subset K^{n} U⊂Kn ein Untervektorraum ist.(2) Bestimmen Sie eine Basis von U U U. (Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle: (1) ai=0 a_{i}=0 ai=0, für alle i i i, und (2) (2) (2) es gibt ein i0∈{1,…,n} i_{0} \in\{1, \ldots, n\} i0∈{1,…,n} mit ai0≠0. a_{i_{0}} \neq 0 . ai0=0. )
Mein Problem liegt in Teilaufgabe 2. Ich habe noch nie zuvor die Basis eines Vektors mit einer Funktion bestimmt. Im Prinzip suche ich ja so etwas wie ((1,0,0,...,n),(0,1,0,...,n),...,(0,0,0,...,1)). Aber wie komme ich da jetzt mit dieser Funktion hin, wenn am Ende =0 rauskommen muss?
Hallo,
nimm mal an, es ist a1≠0a_1 \neq 0a1=0, was kannst Du dann mit den folgenden Vektoren anfangen:
(a2,−a1,0…,0),(a3,0,−a1,0…,0),(−a4,0,0,−a1,0…,0),…(a_2,-a_1, 0 \ldots,0), (a_3,0,-a_1, 0 \ldots,0), (-a_4,0,0,-a_1, 0 \ldots,0), \ldots(a2,−a1,0…,0),(a3,0,−a1,0…,0),(−a4,0,0,−a1,0…,0),…
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