Sei \( K \) ein Körper und \( n \geq 1 \) ein natürliche Zahl. Seien \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \) und setze
\( U:=\left\{\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) \in K^{n} \mid a_{1} x_{1}+\ldots+a_{n} x_{n}=0\right\} \)
(1) Zeigen Sie, dass \( U \subset K^{n} \) ein Untervektorraum ist.
(2) Bestimmen Sie eine Basis von \( U \). (Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle: (1) \( a_{i}=0 \), für alle \( i \), und \( (2) \) es gibt ein \( i_{0} \in\{1, \ldots, n\} \) mit \( a_{i_{0}} \neq 0 . \) )
Mein Problem liegt in Teilaufgabe 2. Ich habe noch nie zuvor die Basis eines Vektors mit einer Funktion bestimmt. Im Prinzip suche ich ja so etwas wie ((1,0,0,...,n),(0,1,0,...,n),...,(0,0,0,...,1)). Aber wie komme ich da jetzt mit dieser Funktion hin, wenn am Ende =0 rauskommen muss?
