Differenzierbar aber nicht stetig differenzierbar

Question

Aufgabe:

$$\text{Gezeigt werden soll, dass die Funktion } f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ definiert durch }$$

$$ f(x) = \{ x^2cos(\frac{1}{x})\,\, für \,\,x\neq 0 ,\,\,\, 0\,\,\, für \,\,x= 0 $$

differenzierebar, aber nicht stetig differenzierbar ist.

Comments

Berechne \(f'(x)\) für \(x \neq 0\) mit Hilfe der einschlägigen Differentiationsregeln. Berechne \(f'(0)\) durch Untersuchung des Differenzenquotienten. Dann schau mal.

Gruß Mathhilf

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Ah ok danke jetzt weiß ich wie ich vorgehen soll, also:

$$ \text{ f'(x) =} \frac{x^2cos(\frac{1}{x})-x_*^2cos(\frac{1}{x_*})}{x-x*}= \frac{x^4cos^2(\frac{1}{x})-x_*^4cos^2(\frac{1}{x_*})}{(x-x*)*(x^2cos(\frac{1}{x})+x_*^2cos(\frac{1}{x}))}$$

Wie komme ich da weiter?

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Ich wiederhole meinen Kommentar. Für \(x \neq 0\) verwende die Regeln. Für \(x=0\) verwende die Definition.

Answer 1

\( \frac{d}{d x}\left(x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)+2 x \cos \left(\frac{1}{x}\right) \)