Haupträume in Abhängigkeit von α bestimmen

Question

Aufgabe:

Für α ∈ R betrachten wir F : Rⁿ → Rⁿ mit x ↦ Ax, wobei A ∈ M_n;n(R) folgende Matrix ist:

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 1-α & 1 \\ 0 & α & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)

a.) Haupträume von F in Abhängigkeit von α bestimmen und für jeden Hauptraum U_i eine Basis B_i angeben.

b.) Darstellungsmatrix bzgl Basis B = B₁ ∪ ... ∪ B_s   bestimmen.

c.) Minimalpolynom von F in Abh. von α bestimmen.

Problem/Ansatz:

Für a.) hab ich das charakteristische Polynom schon bestimmt: c_A(t) = -(1+t)(1-t)(α - t) . Somit weiß man schonmal, dass eigentlich alle Eigenwerte eine alg. Vielfachheit von 1 haben. Daher müsste auch alle Haupträume den Eigenräumen entsprechen oder? Ansonsten habe ich Fallunterscheidungen gemacht und da passiert es, dass man zwei Eigenvektor bekommt, wie hängt das nun alles damit zusammen? Ist dann der Kern im Quadrat auch ein Hauptraum? Aber dann passt die alg. Vielfachheit halt gar nicht.

Kann Jemand mir helfen, was ich da (wahrscheinlich) durcheinander bringe?

Answer 1

Das ist der Fall α=-1

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rrr}2&2&1\\0&0&1\\0&0&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&1&\left(\begin{array}{rrr}0&2&1\\0&-2&1\\0&0&-2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>

\(\small EV=\left(\begin{array}{rr}-1&1\\1&0\\0&0\\\end{array}\right)\)

Suche λ=-1 HV ∈ Ker (A-λE)^N mit dim Ker (A-λE)^N = n ∧ HV ¬∈ Ker (A-λE)^N-1

===>

\(\small HVKandidaten1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}-1&-1\\1&0\\0&1\\\end{array}\right)\to KernHV1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}0&-1\\0&1\\0&0\\\end{array}\right)\)

2. Spalten bilden HVs

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \to T^{-1} A \,T = D \, =  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-1&1\\0&0&-1\\\end{array}\right)\)