Zerlegung in Haupträume von Matrix

Question

Aufgabe:

Sei \(A = \begin{pmatrix} 7 & 1 & -13 & 8 & -1 \\ -4 & -2 & 6 & -2 & 2\\ 1 & -1 & -2 & 3 & 0\\ -3 & -3 & 5 & 0 & 1 \\ 0 &-2 & -3 &3 & 3\end{pmatrix} \in Mat(5,\mathbb{Q}) \).

Sie dürfen verwende, dass \(A\) genau die Eigenwerte 0 und 2 hat. Bestimmen Sie eine Zerlegung in Haupträume von \(A\) von \(\mathbb{Q}\)

Problem/Ansatz:

Muss ich jetzt einfach nur \(Ker(A-0E_5)\) und \(Ker(A-2E_5)\) berechnen. Aber muss ich die nicht jeweils mit der entsprechen algebraischen Vielfachheit potenzieren? Kann ich davon ausgehen, dass die jeweils 1 ist oder muss ich die doch nochmal berechnen? Und gibt mir das dann schon die Haupträume? Ist das dann auch schon die Zerlegung?

Answer 1

Grundsätzlich lesenswert Kochen mit Jordan

https://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf

===> algebraische Vielfachheit = Länge des Jordanblocks zu λ

Eigenwerte bestimmen aus |A-λ E|=0 und

Dimmension des Eigenraums n-Rang(A-λ E)

===> EW={0,2} ↦ DimER={1,2}

n − rg(A − λ E) = Anzahl der Kästchen im Block zu λ

Nun bestimme man
Kern(A − λ E )^2, Kern(A −λ E)^3, . . .
und zwar solange, bis sich die Dimension des Kernes nicht mehr ändert.

===>Länge des größten Kästchens zum Eigenwert λ

λ=0 (2), λ=2 (2) jeweils 1 Kästchen der Länge 2, dann muss es für λ=2 noch 1 Kästchen der Länge 1 geben

===> wenn man es nicht lieber gleich komplett rechnet

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/373616

\(\scriptsize T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}2&-1&\frac{1}{2}&3&3\\0&1&0&\frac{-3}{2}&-1\\1&0&\frac{1}{2}&1&1\\0&1&\frac{1}{2}&0&0\\1&0&0&0&1\\\end{array}\right)\) ===> \(\scriptsize T^{-1} A\, T = D \, =  \, \left(\begin{array}{rrrrr}0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&0&2\\\end{array}\right) \)