Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U bezüglich des Standardskalarprodukts des ℝ4.

Question

Aufgabe:

Betrachte den Untervektorraum U = {x ∈ ℝ⁴ : (1 1 -1 1) * x = 0} des ℝ⁴. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U bezüglich des Standardskalarprodukts des ℝ⁴.

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich eine Orthonormalbasis? Und wie ist der Bezug auf das Standardskalarprodukt gemeint?

Mich irritiert hier auch leider sehr der ℝ⁴.

Answer 1

Eine Orthonormalbasis ist eine Basis mit zwei zusätzlichen Eigenschaften:

(1) Die Basisvektoren sind paarweise orthogonal zueinander (und da muss man natürlich wissen, was der Begriff „orthogonal“ bedeutet. Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, falls das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ergibt. Da es nicht nur ein Skalarprodukt gibt, ist es wichtig anzugeben, mit welchem in der Aufgabe gearbeitet werden muss: Hier mit dem Standardskalarprodukt, das schon aus der Schule bekannt ist.)

(2) Die Basisvektoren haben Länge 1.

Beginne die Aufgabe damit, erstmal eine Basis von U zu bestimmen und passe die Basis dann so an, dass auch die Eigenschaften (1) und (2) gelten.