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Aufgabe:

Betrachte den Untervektorraum U = {x ∈ ℝ4 : (1 1 -1 1) * x = 0} des ℝ4. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U bezüglich des Standardskalarprodukts des ℝ4.

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich eine Orthonormalbasis? Und wie ist der Bezug auf das Standardskalarprodukt gemeint?

Mich irritiert hier auch leider sehr der ℝ4.

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Eine Orthonormalbasis ist eine Basis mit zwei zusätzlichen Eigenschaften:

(1) Die Basisvektoren sind paarweise orthogonal zueinander (und da muss man natürlich wissen, was der Begriff „orthogonal“ bedeutet. Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, falls das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ergibt. Da es nicht nur ein Skalarprodukt gibt, ist es wichtig anzugeben, mit welchem in der Aufgabe gearbeitet werden muss: Hier mit dem Standardskalarprodukt, das schon aus der Schule bekannt ist.)

(2) Die Basisvektoren haben Länge 1.

Beginne die Aufgabe damit, erstmal eine Basis von U zu bestimmen und passe die Basis dann so an, dass auch die Eigenschaften (1) und (2) gelten.

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