Wie berechnet man mithilfe von f’(x) und einem Punkt f(x)?

Question

Die ganze Aufgabe lautet:

Von einer Funktion f ist ihre Ableitungsfunktion f‘(x)=3x^2-6x+4 bekannt.

a)Wie könnte ein möglicher Funktionsterm von f lauten?

b)Wie lautet der Funktionsterm von f, wenn der graph von f durch den Punkt P(2/3) geht?

a) hab ich schon alleine gelöst nur bei b) weiß ich nicht ganz welche schritte nötig sind um die aufgabe zu lösen.

ich war in der letzten mathestunde leider krank und dort wurde sowas schon vorgerechnet und nun als Hausaufgabe zum üben eine ähnliche gegeben. Ich wäre sehr dankbar wenn es mir jemand erklären könnte.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Du musst die überlegen, wie eine Funktion \(f(x)\) aussehen könnte, deren Ableitung$$f'(x)=3x^2-6x+4$$beträgt. Die Ableitung von \(x^3\) ist \(3x^2\). Die Ableitung von \(3x^2\) ist \(6x\). Die Ableitung von \(4x\) ist \(4\). Damit kannst du dir eine Funktion \(f(x)\) zusammenbauen:$$f(x)=x^3-3x^2+4x$$

zu b) Da die Ableitung einer beliebigen Konstanten \(c\) gleich \(0\) ist, kannst du zu der oben gefundenen Funktion \(f(x)\) eine beliebig gewählte Konstante \(c\) addieren ohne ihre Ableitung zu ändern. Wir erweitern also die Lösung von oben zu:$$f_c(x)=x^3-3x^2+4x+c$$Diese Konstante \(c\) müssen wir so bestimmen, dass der Punkt \(P(2;3)\) auf dem Graphen liegt:$$3\stackrel!=f(2)=8-3\cdot4+4\cdot2+c=4+c\implies c=-1$$Die gesuchte Funktion lautet also:$$f_{(-1)}(x)=x^3-3x^2+4x-1$$

Comments

Vielen Dank. Hab den Lösungsweg jetzt nachvollziehen können

Answer 2

Intergrieren von f '(x):

f(x) = x^3- 3x^2+4x+C

b) f(2)= 3

...

C= ...