Beweise, dass a + x = b eine Lösung hat

Question

Aufgabe:

Beweise: Die Gleichung a + x = b hat eine eindeutige Lösung.

Problem/Ansatz:

Anzuwenden sind die Körperaxiome, aber wie das funktioniert, verstehe ich leider nicht.

Comments

Welche Körperaxiome benutzt ihr denn?

Hier brauchst du ja nur die Axiome, die sich mit der Addition

beschäftigen,

z.B. Assoziativität von "+", Existenz des neutralen Elements "0"

und für jedes Element a Existenz des (additiv) Inversen,

üblicherweise mit "-a" bezeichnet, Kommutativität von "+".

Sind diese Eigenschaften gemeint?

Answer 1

\(\begin{aligned} &  & a+x & =b\\ \text{Existenz von Gegenzahlen} & \implies & -a+\left(a+x\right) & =-a+b\\ \text{Assoziativgesetz} & \implies & \left(-a+a\right)+x & =-a+b\\ \text{Eigenschaften von Gegenzahlen} & \implies & 0+x & =-a+b\\ \text{Neutralität der }0\text{ bei Addition} & \implies & x & =-a+b \end{aligned}\)

Das \(-a+b\) tatsächlich eine Lösung ist, kannst du durch einsetzen beweisen.