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Aufgabe:Begründen sie : …

Sei \( \lambda>0 \)
(a) Begründen Sie: Durch
\( p_{k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \cdot e^{-\lambda} \quad\left(k \in \mathbb{N}_{0}\right) \)
wird eine Zähldichte \( \left(p_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}_{0}} \) definiert.
Hinweis: Für die Exponentialfunktion gilt
\( e^{x}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \cdot x^{k} \quad(x \in \mathbb{R}) \)
(b) Sei nun \( X \) eine \( \pi(0.5) \)-verteilte Zufallsvariable. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass \( X \) einen Wert aus dem Intervall \( [1,4] \) annimmt ? Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass \( X \) einen Wert größer oder gleich 2 annimmt ?

Problem/Ansatz: Wie fange ich an? Ich verstehe es nicht und ich kann nicht sehen, wie ich es lösen kann. Ich möchte lösen, weil ich solche Aufgaben auf Klausur haben kann..

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Dazu musst Du nachschauen: Was ist die Definition von "Zähldichte"? Was bedeutet \(\pi (0.5)\)-verteilte Zufallsvariable?

Ich habe das für deine Antwort und Frage gefunden:

Die Zähldichte macht nur Sinn für diskrete Wahrscheinlichkeitsräume, d.h. mit höchstens abzählbaren Ω und wo die Sigma-Algebra gleich der Potenzmenge von Ω ist. Dort wird das W-Maß P vollständig beschrieben durch die Einzelwahrscheinlichkeiten

P({ω})=:f(ω) für alle ω∈Ω, und jenes f bezeichnet man dann eben als Zähldichte.

Im maßtheoretischen Sinne ist f die Radon-Nikodym-Dichte von P bzgl. des Zählmaßes μ auf Ω (also μ(A)=|A|), d.h., f=dPdμ, daher auch der Name.

Was bedeutet \(\pi (0.5)\)-verteilte Zufallsvariable?

Definition (Binomialverteilung)
Eine diskrete Zufallsvariable X ∈ {0, 1, . . . , n} hat Binomialverteilung mit Parametern n und π, falls
n x n−x P(X=x)= x π(1−π) .
Wir schreiben dafür kurz X ∼ Bin(n, π) mit n ∈ N, π ∈ (0, 1).
Wobei π bezeichnet gerade die Wahrscheinlichkeit für einen“Erfolg” in einem einzelnen Versuch.
Spezialfall: Bin(1, π) = Bernoulli(π).

P(X ≥2)=1−P(X <2)=1−P(X =0)−P(X =1)

P(X>_1/4)=1-P(X<1/4)=…..

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