Thomae Funktion stetig für irrationale Zahlen

Question

Aufgabe:

$$f:[0,1] \rightarrow R$$ ist definiert durch:

$$f (x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x \notin Q \\ \frac {1}{q} & x = \frac {p}{q}\\ \end{array} \right.$$

$$x = \frac {p}{q} \, q \in N^+ \, p \in N $$

Mit q und p teilerfremd

zz: f ist genau dann stetig, wenn x kein Element von Q ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Frage häufig hier im Forum gelesen.

Mein Problem ist, dass wir z.B. das Folgekriterium nicht eingeführt haben und auch die "Dichtheit von Q in R " vermutlich nicht einfach so verwenden können. Ich finde einfach keinen wirklichen Ansatz wie man an so eine Aufgabe rangeht

So eine erste Argumentation für den ersten Fall ist vermutlich auch nicht zulässig, weil wir auch noch nicht bewiesen haben, dass man den limes so "in die Funktion reinziehen" kann:

Für den ersten Teil genügt es, für jedes \( x \in \mathbb{Q} \) eine Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( x_{n} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) und \( x_{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} x \) anzugeben, denn dann ist

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \neq \frac{1}{q}=f\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}\right)$$

Bin dankbar für jeden Ansatz.

Answer 1

Im Allgemeinen muss die Funktion stetig sein, damit du den Limes reinziehen kannst, da die Funktion jedoch nicht überall stetig ist, darfst du dass natürlich nicht machen.

Erstmal die hinreichende Bedingung: Nehmen wir an, \( x_{0} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \). Sei \( \epsilon>0 \) beliebig. Dann gibt es ein \( n \in \mathbb{N} \) mit
\(\begin{aligned} n=\left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil \Rightarrow \frac{1}{n}<\epsilon\end{aligned}\)

Jetzt betrachten wir das Interval \( \left(x_{0}-1 / n, x_{0}+1 / n\right) \cap[0,1] \). Es gibt nur endlich viele Brüche der Form \( 1 / q \) mit
\(\begin{aligned} \frac{1}{q}>\frac{1}{n} \Longleftrightarrow q<n\end{aligned} \)
da \( n \) ja eine fixierte natürliche Zahl ist. Nun wählen wir
\(\begin{aligned} \delta<\min \left\{\left|x_{0}-\frac{p}{q}\right| \mid p<q \wedge \operatorname{gcd}(p, q)=1 \wedge q \leq n\right\} .\end{aligned} \)
Wir wählen also \( \delta \) so, das keine der vollständig gekürzten rationalen Zahlen in dem Interval liegen, welche einen Wert \( \geq \epsilon \) haben. Dann ergibt sich für \( x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \cap[0,1] \) :
\( \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| \leq \frac{1}{n}<\epsilon . \)

Für die notwendige Bedingung, nehmen wir an, \( x_{0} \in \mathbb{Q} \), also
\(\begin{aligned} x_{0}=\frac{p}{q}, \quad p, q \in \mathbb{N} \wedge \operatorname{gcd}(p, q)=1 \Longrightarrow f\left(x_{0}\right)=\frac{1}{q} . \end{aligned}\)
Aufgrund der Dichte der irrationalen Zahlen in \( \mathbb{R} \), gilt:
\( \begin{aligned}\forall x \in \mathbb{R} \forall \delta \in \mathbb{R} \exists y \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}: y \in(x-\delta, x+\delta) \end{aligned}\)
Dementsprechend gilt für jedes \( \delta>0 \)
\(\begin{aligned} \exists x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right):\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|=\left|0-f\left(x_{0}\right)\right|=\frac{1}{q} \end{aligned}\)
womit es für
\(\begin{aligned} \epsilon=\frac{1}{q+1}\end{aligned} \)
kein passendes \( \delta \) gibt, die Funktion dementsprechend nicht stetig in \( x_{0} \) ist.