Aufgabe:
Seien \( X_{1}, X_{2}, \ldots \) unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit endlichem vierten Moment \( \mathbb{E}\left[X_{1}^{4}\right]<\infty \). Sei
\( V_{n}=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n}\left(X_{k}-\frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^{n} X_{j}\right)^{2} \)
Berechnen Sie den Erwartungswert von \( V_{n} . \) Nehmen Sie dazu zunächst \( \mathbb{E}\left[X_{1}\right]=0 \) an, und begründen Sie mit der Darstellung
\( V_{n}=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n}\left(X_{k}-\mathbb{E}\left[X_{1}\right]-\frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^{n}\left(X_{j}-\mathbb{E}\left[X_{1}\right]\right)\right)^{2} \)
dass dies keine Einschränkung der Allgemeinheit ist.
Problem/Ansatz:
Hat jemand eine Idee, wie man auf den Erwartungsweh Vn kommt bzw. hat jemand eine passende Begründung?
