Wir betrachten das Differentialgleichungssystem
\( y_{1}^{\prime}=\left(a+\frac{1}{2}\right) y_{1}-\frac{1}{2} y_{2}+e^{a t}, \quad y_{2}^{\prime}=\frac{1}{2} y_{1}+\left(a-\frac{1}{2}\right) y_{2} . \)
(a) Schreiben Sie das System in der Form \( \boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{b}(t) \) mit \( \boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) und \( \boldsymbol{b}(t) \in \mathbb{R}^{2} \).
(b) Für welche \( a \in \mathbb{R} \) ist die Nulllösung des homogenen Systems \( \boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y} \) asymptotisch stabil?
(c) Berechnen Sie \( (\boldsymbol{A}-a \boldsymbol{E})^{2} \) und \( \exp (\boldsymbol{A} t) \), wobei \( \boldsymbol{E} \) die Einheitsmatrix bezeichnet.
(d) Bestimmen Sie eine Fundamentalmatrix \( \boldsymbol{Y}(t) \) des homogenen Systems \( \boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y} \).
(e) Bestimmen Sie die Lösung der DGL (1) zu den Anfangsdaten \( \boldsymbol{y}(0)=(1,1)^{T} \).
Wie löse ich diese Aufgaben?
