Aufgabe:
Gegeben sei die von einem Parameter \( m>0 \) abhängige Funktion
\( \begin{aligned} f_{m}: \mathbb{R}^{3} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) & \mapsto f_{m}(x)=\left[\left(\|x\|_{2}+m\right)^{-1}-\left(\|x\|_{2}+1\right)^{-1}\right] e^{-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}} \end{aligned} \)
Beweisen Sie:
(a) Für alle \( m>0 \) ist \( f_{m} \) bezüglich des dreidimensionalen Lebesguemaßes \( \lambda_{3} \) integrierbar.
(b) Die Funktion
\( g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(m)=\int \limits_{\mathbb{R}^{3}} f_{m} d \lambda_{3} \)
ist differenzierbar.
Problem/Ansatz:
… Ich wüsste hier echt nicht, wie ich das zeigen soll. Ich würde mich freuen, wenn jemand mir dabei helfen könnte.
