Ich bin mir nicht ganz sicher, welche Lösung die Aufgabe verlangt (auf verschiedene Arten zu zählen ist ein bisschen vage formuliert), aber hier mal eine Möglichkeit: Zuerst einmal bezeichne begrüßt \( \left(G_{i}\right) \) die Anzahl an Gästen, welche der Gast \( G_{i} \) begrüßt hat. Wöllten wir jetzt die Anzahl an Gästen, welche von irgendeinem Gast begrüßt wurden, zählen, so könnten wir all diese Begrüßungen aufsummieren. Wichtig ist hierbei, dass wir diese Begrüßungen ja immer doppel zählen, da wenn Gast \( G_{i} \) den Gast \( G_{j} \) begrüßt, auch der Gast \( G_{j} \) den Gast \( G_{i} \) begrüßt (in der Aufgabe steht ja, dass sie sich begrüßen, also ist es eine symmetrische Relation). Wenn wir nun mit \( B \) die Anzahl an Begrüßten Gästen beschreiben, so ergibt sich
\(\begin{aligned} \sum \limits_{i=1}^{n} \operatorname{begrüßt}\left(G_{i}\right)=2 B\end{aligned} \)
Ich hab jetzt einfach mal die Anzahl der Gäste mit \( n \) bezeichnet. Wir können die obige Summe aufteilen, in jene Gäste, welche eine gerade Anzahl an Gästen begrüßt haben, und jene, welche eine ungerade Anzahl an Gästen begrüßt haben, also
\(\begin{aligned} \sum \limits_{i=1}^{n} \operatorname{begrüßt}\left(G_{i}\right)=\sum \limits_{\text {gerade }} \operatorname{begrüßt}\left(G_{i}\right)+\sum \limits_{\text {ungerade }} \operatorname{begrüßt}\left(G_{i}\right)=2 B .\end{aligned} \)
Natürlich ist \( \sum \limits_{\text {gerade }} \) begrüßt \( \left(G_{i}\right) \) eine gerade Zahl, da sie die Summe von geraden Zahlen ist. Nun muss jedoch auch \( \sum \limits_{\text {ungerade }} \) gerade sein, denn \( 2 B \) ist ja gerade, und
gerade \( + \) ungerade \( \neq \) gerade.
Das beudetet nun, dass die Anzahl an Gästen mit begrüßt \( \left(G_{i}\right) = \text{ungerade}\), gerade sein muss, denn ungerade \( \cdot \) ungerade \( = \) ungerade \( \neq \) gerade. Ich hoffe die Argumentation war verständlich, ich habe es versucht so einfach wie möglich auszudrücken.
