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Aufgabe:

Wie und warum folgt aus dem chinesischen Ressatz die Multiplikaitivität der Phi Funktion?


Problem/Ansatz:

Wie könnte man das erklären?

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Ich bezeichne mit \(Z_n\) den Restklassenring \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

Die prime Restklassengruppe mod \(n\) besteht aus den invertierbaren

Elementen von \(Z_n\). Das ist die Einheitengruppe \(Z_n^*\) von \(Z_n\).

Sind nun \(m\) und \(n\) teilerfremd, so besagt der chinesische

Restsatz, dass \(Z_{mn}\cong Z_m\times Z_n\) gilt. Für die Einbheitengruppen

ergibt sich daraus \(Z_{mn}^*\cong Z_m^* \times Z_n^*\).

Da \(\varphi(n)=|Z_n^*|\) ist, ergibt sich

\(\varphi(mn)=|Z_{mn}^*|=|Z_m^*|\cdot |Z_n^*|=\varphi(m)\cdot \varphi(n)\).

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