Berechnen Sie die Matrixprodukte

Question

2. Gegeben seien die Matrizen
$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll} 3 & 5 & 1 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right) \text { und } \mathbf{C}=\left(\begin{array}{ccc} 5 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 0 \end{array}\right)$
(a) Berechnen Sie die Matrixprodukte $\mathbf{A B}, \mathbf{B A}, \mathbf{C}^{\mathrm{T}} \mathbf{C}$ und $\mathbf{C C}^{\mathrm{T}}$.
(b) In welcher Beziehung stehen $\mathbf{A B}$ und $\mathbf{B A}$ zueinander?
(c) Welche besonderen Eigenschaften besitzen die Matrizen $\mathbf{C}^{\mathrm{T}} \mathbf{C}$ und $\mathbf{C C}^{\mathrm{T}}$ ?
(d) Berechnen Sie die Determinanten von $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ und $\mathbf{C}$.

Aufgabe: könnte mir jemand bei bei 2b und 2c helfen? Das einzige was herausgefunden habe bei 2c, dass sie dieselbe determinante und Spur haben gibt es da noch mehr und bei 2b habe ich keine Ahnung

Comments

Hat keiner eine Idee hmm

Answer 1

Aloha :)

Die Matrizen $AB$ und $BA$ haben dieselben Eigenwerte und dasselbe charakteristische Polynom.

Die Matrizen $C^TC$ und $CC^T$ sind jeweils symmetrisch:$$C^TC=\begin{pmatrix}42 & 23 & 9\\23 & 13 & 6\\9 & 6 & 5\end{pmatrix}\quad;\quad CC^T=\begin{pmatrix}38 & 3 & 26\\3 & 2 & 4\\26 & 4 & 20\end{pmatrix}$$