Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems : dy/dx=3⋅y/x−2/x^2 ,y(1)=4

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems : dy/dx=3⋅y/x−2/x^2       ,y(1)=4
Problem/Ansatz:

wie rechne ich das? bzw mit welcher formel

Answer 1

Hallo,

dy/dx = 3 *(y/x) - 2/x^2 | - 3 *(y/x)

dy/dx - 3 *(y/x)  = - 2/x^2

Lösung via Variation der Konstanten

--------->zuerst homogene DGL lösen:

dy/dx - 3 *(y/x) =0->Trennung der Variablen

dy/y= (3/x) dx

ln|y| = 3 ln(x) +C

yh= C₁* x^3

dann Setze C₁ = C(x)

yh=C₁* x^3

yp= C(x) *x^3

yp'= C'(x) x^3 +C(x) *3 x^2

setze dann yp und yp' in die DGL ein, C(x) muß dabei wegfallen

dy/dx - 3 *(y/x)  = - 2/x^2 

C'(x) x^3 +C(x) *3 x^2 -3  (C(x) *x^3)/x= - 2/x^2

C'(x) x^3 +C(x) *3 x^2 -3 *C(x) *x^2= - 2/x^2

C'(x) x^3 = - 2/x^2 | :x^3 ≠ 0

C'(x)=- 2/x^5

C(x)= 1/(2x^4)

danach yp= C(x) * x^3 = 1/(2x)

Lösung:

y=yh+yp =  C₁* x^3 + 1/(2x)

zum Schluss die AWB in die Lösung einsetzen:

y=  C₁* x^3 + 1/(2x) ; y(1)=4

4= C1 +1/2 ->C1=7/2

y= (7/2) x^3 + 1/(2x)