frobenius-abbildung nicht surjektiv

Question

Aufgabe:

Sei K := F_p(t) der Korper der rationalen Funktionen uber F_p. Zeigen Sie, dass
die Frobenius-Abbildung Φ : K → K (a 7→ a^p) nicht surjektiv ist. Ferner zeigen
Sie, dass [K : Φ(K)] = p ist

Problem/Ansatz:

wie beweise ich die

Answer 1

1. \(\Phi\) ist nicht surjektiv:

anderenfalls wäre \(t\in \Phi(K)\), d.h. es gäbe Polynome

\(r,s\in F_p[t]\), so dass \((\frac{r(t)}{s(t)})^p=t\) wäre, also

\(r(t^p)=(r(t))^p=t\cdot (s(t))^p=t\cdot s(t^p)\).

Der Grad der linken Seite ist durch \(p\) teilbar, der Grad

der rechten Seite ist hingegen \(\equiv 1\) mod \(p\),

Widerspruch !

Zu 2.:

Vielleicht ist ja \(1,t,t^2,\dots,t^{p-1}\) eine Basis von \(K\) über \(\Phi(K)\) ?