Schnittmenge zweier Wahrscheinlichkeiten berechnen Beweis

Question

Ich beginne gerade mit den Grundlagen Stochastik und hadere ein bisschen mit dieser Aufgabe. Wie genau schreibt man so etwas auf, wie "zeigt" man das?

Seien A und B zwei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit P(A) = 1/3

und P(B) = 5/6.

Zeigen Sie, dass dann stets 1/6 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3 gilt. Geben Sie auch jeweils ein Beispiel an, in denen P(A ∩ B) gleich der unteren bzw. gleich der oberen Schranke .ist

Mein Ansatz:

Wenn A und B unabhängig sind, wäre P(A ∩ B)= 1/3 • 5/6 = 5/18
Das weiß ich ja aber nicht. Also schon meine erste Frage: Wie berechne ich denn die Schnittmenge?

Ich wäre sehr dankbar über Lösungsideen!

Answer 1

Die größtmögliche Durchschnittesmenge zweier Mengen A und B gibt es, wenn eine der beiden eine Teilmenge der anderen ist.

Hier: Wenn A eintritt, tritt sicher auch B ein.

Die kleinstmögliche Durchschnittsmenge zweier Mengen A und B gibt es, wenn sie so wenig wie möglich Überdeckung haben.

Da hier P(A)+P(B)=7/6 gilt (was größer als 1 ist), muss (A∩B) mindestens die Wahrscheinlichkeit 1/6 haben.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Ich verstehe nicht ganz, warum man aus P(A) +P(B) größer als 1 folgern kann, dass die Durchschnittsmenge größer als 1/6 sein muss.

Ich verstehe das, wenn ich mir als Zufallsexperiment das Würfeln auswähle, aber ich begreife es trotzdem noch nicht so ganz...