Ist der Beweis richtig?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: ,,Sind R und S symmetrisch, so ist die Relation R ∩ S auch symmetrisch."

Problem/Ansatz:

"Wenn R symmetrisch ist, dann ist für jedes Tupel (a, b) ∈ R auch das Tupel (b, a) ∈ R, das gilt auch für S. Der Durchschnitt von R und S sind die Menge Tupel, die in R und in S liegen. In dieser Durchschnittsmenge aus R ∩ S wird entweder die leere Menge , ein oder mehrere Tupel (a, a) ∨ (b, b) oder ein oder mehrere Tupel (a, b) ∧ (b, a) geschnitten, welche per Definition symmetrisch sind. Daher ist R ∩ S symmetrisch, wenn R und S symmetrisch sind."

Answer 1

Seien \(R\) und \(S\) symmetrisch und \((a,b) \in R\cap S\).

Dann ist

(1)        \((a,b) \in R\)

und

(2)        \((a,b) \in S\)

laut Definition von \(\cap\).

Aus (1) und der Symmetrie von \(R\) folgt

(3)        \((b,a) \in R\).

Aus (2) und der Symmetrie von \(S\) folgt

(4)        \((b,a) \in S\).

Aus (3) und (4) folgt \((b,a) \in R\cap S\) laut Definition von \(\cap\).

In dieser Durchschnittsmenge ...

Ab hier konnte ich nicht mehr nachvollziehen, was du meinst.

Answer 2

\((a,b)\in R\cap S\Rightarrow (a,b)\in R \; \wedge \; (a,b)\in S\)

Da \(R\) und \(S\) symmetrisch sind, folgt

\((b,a)\in R \; \wedge \;  (b,a)\in S \Rightarrow (b,a)\in R\cap S\), q.e.d.