Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt (−4|−10|2) zu der Geraden

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt (−4|−10|2) zu der Geraden

$g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2 \\ -4 \\ -5\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}1 \\ 3 \\ -4\end{array}\right), \quad t \in \mathbb{R}$

Wie groß ist der Abstand d(p,g) von P zu g ?

Problem/Ansatz:

Ich hab den Lotfußpunkt schon berechnet: ((32/3),22,-(119/3)). Und wollte damit den Abstand berechnen. Mein Problem ist aber die Zahlen die ich bekomme sind sehr komisch. Kann mir jemand bitte helfen?

Comments

aber die Zahlen die ich bekomme sind sehr komisch

Wie lauten sie denn, und wieso findest Du sie komisch?

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Ich bekomm ja dann sqrt((-44/3)² + (-32)² + (125/3)²) und das im Taschenrechner dann 54,5455.

Die Zahlen sind sehr komisch.

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und wieso findest Du sie komisch?

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Ich find für Schulaufgaben sollten einfach nicht solche Ergebnisse rauskommen. Ich weiß jetzt aber auch nicht was ich falsch gerechnet haben soll... deswegen frag ich ja hier.

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Dein Ergebnis ist auch noch falsch gerundet.

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Ich kann Deinen Rechenweg nicht nachvollziehen. Du gibst nicht an, wie Du auf den Lotfußpunkt gekommen bist.

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Ok ich schau dann nochmal nach wie man solche Aufgaben rechnet.

Answer 1

Aloha :)

$$g\colon\vec x=\underbrace{\begin{pmatrix}2\\-4\\-5\end{pmatrix}}_{=\vec a}+t\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}}_{=\vec v}\quad;\quad P(-4|-10|2)$$

Ziehe einen Hilfs-Vektor $\vec h$ vom Ankerpunkt $A$ der Geraden zum Punkt $P$:$$\vec h=\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a=\begin{pmatrix}-4\\-10\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-6\\7\end{pmatrix}$$Projeziere diesen Hilfsvektor auf den Richtungsvektor der Geraden:$$\vec h_\parallel=\left(\frac{\vec h\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}\right)\vec v=\left(\frac{\begin{pmatrix}-6\\-6\\7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}}\right)\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}=\frac{-52}{26}\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-6\\8\end{pmatrix}$$Bestimme den Anteil des Vektors $\vec h$, der senkrecht auf der Geraden $g$ steht:$$\vec h_\perp=\vec h-\vec h_\parallel=\begin{pmatrix}-6\\-6\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-6\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\0\\-1\end{pmatrix}$$Die Länge dieses Vektors ist der gesuchte Abstand:$$d=\|\vec h_\perp\|=\sqrt{(-4)^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{17}$$

PS: Der Lotfußpunkt liegt bei $\vec a+\vec h_\parallel=\begin{pmatrix}0\\-10\\3\end{pmatrix}$. Du musst dich also schon auf dem Weg dorthin verirrt haben.

Answer 2

Der Abstand beträgt $\sqrt{17}$ bei t = -2.

Du solltest so lange üben, bis Du selber auf das Ergebnis kommst.